Упр.14.17 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

x+log2(y)=ylog2(3) + log2(x)
xlog2(72) + log2(x) = 2y+log2(y).

Область допустимых значений: $$x>0,\quad y>0.$$

Преобразуем второе уравнение системы:

$$ x\log_2 72+\log_2 x=2y+\log_2 y $$
$$ x\log_2 72+\log_2 x-y\log_2 3-\log_2 y=0 $$

Так как $$\log_2 72=\log_2(8\cdot 9)=3+2\log_2 3,$$ получаем:

$$ x(1+\log_2 72)-y(\log_2 3+2)=0 $$
$$ x(4+2\log_2 3)-y(2+\log_2 3)=0 $$
$$ (2+\log_2 3)(2x-y)=0 $$

Поскольку $$2+\log_2 3\ne 0,$$ то

$$ y=2x. $$

Подставим это в первое уравнение:

$$ x+\log_2(2x)=2x\log_2 3+\log_2 x $$
$$ x+1+\log_2 x=2x\log_2 3+\log_2 x $$
$$ x(1-2\log_2 3)=-1 $$
$$ x=\frac{1}{2\log_2 3-1}. $$

Преобразуем:

$$ 2\log_2 3-1=\log_2 9-\log_2 2=\log_2 \frac{9}{2}=\log_2 4{,}5, $$

значит

$$ x=\frac{1}{\log_2 4{,}5}=\log_{4{,}5}2. $$

Тогда

$$ y=2x=2\log_{4{,}5}2=\log_{4{,}5}4. $$

Ответ

$$\left(\log_{4{,}5}2;\ \log_{4{,}5}4\right)$$