Упр.14.16 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- а) $$\begin{cases} x-y=\frac{5\pi}{3},\\ \sin x=2\sin y; \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} \tan x\tan y=-\frac{1}{6},\\ x-y=\frac{\pi}{4}; \end{cases}$$
в) $$\begin{cases} \sin^2 x+\sin^2 y=\frac{3}{4},\\ x+y=\frac{5\pi}{12}. \end{cases}$$
а) Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=y+\frac{5\pi}{3}.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\sin\left(y+\frac{5\pi}{3}\right)=2\sin y.$$
Раскроем синус суммы:
$$\sin y\cos\frac{5\pi}{3}+\cos y\sin\frac{5\pi}{3}=2\sin y.$$
Так как $$\cos\frac{5\pi}{3}=\frac12$$, $$\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2},$$ получаем:
$$\frac12\sin y-\frac{\sqrt3}{2}\cos y=2\sin y.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\sqrt3\cos y+3\sin y=0.$$
Разделим на $$\cos y$$:
$$\sqrt3+3\tan y=0,$$
$$\tan y=-\frac{1}{\sqrt3}.$$
Отсюда
$$y=-\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Тогда
$$x=y+\frac{5\pi}{3}=\frac{3\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
б) Из первого уравнения:
$$x=y+\frac{\pi}{4}.$$
Подставим во второе:
$$\tan\left(y+\frac{\pi}{4}\right)\tan y=-\frac16.$$
Используем формулу:
$$\tan\left(y+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tan y+1}{1-\tan y}.$$
Обозначим $$\tan y=t$$. Тогда
$$\frac{t+1}{1-t}\cdot t=-\frac16.$$
Получаем квадратное уравнение:
$$6t^2+5t+1=0.$$
Разложим на множители:
$$6t^2+5t+1=(3t+1)(2t+1)=0.$$
Следовательно,
$$t=-\frac13 \quad \text{или} \quad t=-\frac12.$$
Значит,
$$y=-\arctan\frac13+\pi n \quad \text{или} \quad y=-\arctan\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Тогда
$$x=\frac{\pi}{4}-\arctan\frac13+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{4}-\arctan\frac12+\pi n.$$
в) Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=\frac{5\pi}{12}-y.$$
Подставим во второе:
$$\sin^2\left(\frac{5\pi}{12}-y\right)+\sin^2 y=\frac34.$$
Используем формулу $$\sin^2 t=\frac{1-\cos 2t}{2}$$:
$$\frac{1-\cos\left(\frac{5\pi}{6}-2y\right)}{2}+\frac{1-\cos 2y}{2}=\frac34.$$
После преобразований получаем:
$$\left(\sqrt3-2\right)\cos 2y-\sin 2y=-1.$$
Переходим к тангенсу, обозначив $$\tan y=t$$:
$$\left(3-\sqrt3\right)t^2-2t+\left(\sqrt3-1\right)=0.$$
Дискриминант:
$$D=4-4(3-\sqrt3)(\sqrt3-1)=4(2-\sqrt3)^2.$$
Тогда
$$t_1=\frac{1}{\sqrt3},\quad t_2=1.$$
Следовательно,
$$y=\frac{\pi}{6}+\pi n \quad \text{или} \quad y=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Тогда
$$x=\frac{5\pi}{12}-\frac{\pi}{6}+\pi n=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
или
$$x=\frac{5\pi}{12}-\frac{\pi}{4}+\pi n=\frac{\pi}{6}+\pi n.$$
Ответ
а) $$\left(\frac{3\pi}{2}+\pi k;\,-\frac{\pi}{6}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$
б) $$\left(\frac{\pi}{4}-\arctan\frac13+\pi n;\,-\arctan\frac13+\pi n\right),\ \left(\frac{\pi}{4}-\arctan\frac12+\pi n;\,-\arctan\frac12+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$
в) $$\left(\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{6}+\pi n\right),\ \left(\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$
