Упр.14.16 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

x-y=5пи/3
sinx=2siny;
б) система
tgxtgy=-1/6
x-y=пи/4;
в) система
sin^2 x + sin^2 y=3/4
x+y=5пи/12.

1. а) Из первого уравнения выразим $$x$$:

   $$x=y+\frac{5\pi}{3}.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$\sin\left(y+\frac{5\pi}{3}\right)=2\sin y.$$

   Раскроем синус суммы:

   $$\sin y\cos\frac{5\pi}{3}+\cos y\sin\frac{5\pi}{3}=2\sin y.$$

   Так как $$\cos\frac{5\pi}{3}=\frac12$$, $$\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2},$$ получаем:

   $$\frac12\sin y-\frac{\sqrt3}{2}\cos y=2\sin y.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$\sqrt3\cos y+3\sin y=0.$$

   Разделим на $$\cos y$$:

   $$\sqrt3+3\tan y=0,$$

   $$\tan y=-\frac{1}{\sqrt3}.$$

   Отсюда

   $$y=-\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$x=y+\frac{5\pi}{3}=\frac{3\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2. б) Из первого уравнения:

   $$x=y+\frac{\pi}{4}.$$

   Подставим во второе:

   $$\tan\left(y+\frac{\pi}{4}\right)\tan y=-\frac16.$$

   Используем формулу:

   $$\tan\left(y+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tan y+1}{1-\tan y}.$$

   Обозначим $$\tan y=t$$. Тогда

   $$\frac{t+1}{1-t}\cdot t=-\frac16.$$

   Получаем квадратное уравнение:

   $$6t^2+5t+1=0.$$

   Разложим на множители:

   $$6t^2+5t+1=(3t+1)(2t+1)=0.$$

   Следовательно,

   $$t=-\frac13 \quad \text{или} \quad t=-\frac12.$$

   Значит,

   $$y=-\arctan\frac13+\pi n \quad \text{или} \quad y=-\arctan\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$x=\frac{\pi}{4}-\arctan\frac13+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{4}-\arctan\frac12+\pi n.$$

3. в) Из первого уравнения выразим $$x$$:

   $$x=\frac{5\pi}{12}-y.$$

   Подставим во второе:

   $$\sin^2\left(\frac{5\pi}{12}-y\right)+\sin^2 y=\frac34.$$

   Используем формулу $$\sin^2 t=\frac{1-\cos 2t}{2}$$:

   $$\frac{1-\cos\left(\frac{5\pi}{6}-2y\right)}{2}+\frac{1-\cos 2y}{2}=\frac34.$$

   После преобразований получаем:

   $$\left(\sqrt3-2\right)\cos 2y-\sin 2y=-1.$$

   Переходим к тангенсу, обозначив $$\tan y=t$$:

   $$\left(3-\sqrt3\right)t^2-2t+\left(\sqrt3-1\right)=0.$$

   Дискриминант:

   $$D=4-4(3-\sqrt3)(\sqrt3-1)=4(2-\sqrt3)^2.$$

   Тогда

   $$t_1=\frac{1}{\sqrt3},\quad t_2=1.$$

   Следовательно,

   $$y=\frac{\pi}{6}+\pi n \quad \text{или} \quad y=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$x=\frac{5\pi}{12}-\frac{\pi}{6}+\pi n=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

   или

   $$x=\frac{5\pi}{12}-\frac{\pi}{4}+\pi n=\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

Ответ

а) $$\left(\frac{3\pi}{2}+\pi k;\,-\frac{\pi}{6}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$

б) $$\left(\frac{\pi}{4}-\arctan\frac13+\pi n;\,-\arctan\frac13+\pi n\right),\ \left(\frac{\pi}{4}-\arctan\frac12+\pi n;\,-\arctan\frac12+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$

в) $$\left(\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{6}+\pi n\right),\ \left(\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z$$