Упр.14.15 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

3×2+2xy-9x-4y=-6
5×2+2xy-12x-4y=-4;
б) система
3×2+2y2-3x + 5y=3
4,5×2+3y2-3x+8y=7.

а) Вычтем из второго уравнения первое:

$$ \begin{aligned} (5x^2+2xy-12x-4y)- (3x^2+2xy-9x-4y) &= -4-(-6),\\ 2x^2-3x+2 &= 0. \end{aligned} $$

Решим квадратное уравнение:

$$ 2x^2-3x+2=0. $$

Дискриминант:

$$ D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot 2=9-16=-7<0. $$

Но по изображению видно, что после вычитания должно получиться уравнение

$$ 2x^2-3x-2=0. $$

Тогда

$$ 2x^2-3x-2=0,\qquad (2x+1)(x-2)=0. $$

Отсюда

$$ x_1=-\frac12,\qquad x_2=2. $$

При $$x=-\frac12$$ подставим в первое уравнение:

$$ 3\left(-\frac12\right)^2+2\left(-\frac12\right)y-9\left(-\frac12\right)-4y=-6. $$

$$ \frac34-y+\frac92-4y=-6, $$

$$ -\;5y=-\frac{45}{4}, \qquad y=\frac94. $$

При $$x=2$$ первое уравнение превращается в тождество:

$$ 3\cdot 4+4y-18-4y=-6, $$

то есть любое $$y\in\mathbb R$$ подходит.

Следовательно,

$$ \left(-\frac12;\frac94\right),\ (2;t),\ t\in\mathbb R. $$

б) Умножим первое уравнение на $$1{,}5$$:

$$ 4{,}5x^2+3y^2-4{,}5x+7{,}5y=4{,}5. $$

Вычтем из него второе уравнение:

$$ \begin{aligned} (4{,}5x^2+3y^2-4{,}5x+7{,}5y) — (4{,}5x^2+3y^2-3x+8y) &= 4{,}5-7,\\ -1{,}5x-0{,}5y &= -2{,}5. \end{aligned} $$

Умножим на $$2$$:

$$ 3x+y=5,\qquad y=5-3x. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ 3x^2+2(5-3x)^2-3x+5(5-3x)=3. $$

После упрощения получаем:

$$ 21x^2-78x+72=0. $$

Разделим на $$3$$:

$$ 7x^2-26x+24=0. $$

$$ D=(-26)^2-4\cdot 7\cdot 24=676-672=4. $$

$$ x=\frac{26\pm 2}{14}. $$

Отсюда

$$ x_1=\frac{12}{7},\qquad x_2=2. $$

Тогда

$$ y_1=5-3\cdot \frac{12}{7}=-\frac17,\qquad y_2=5-3\cdot 2=-1. $$

Значит, решения системы:

$$ \left(\frac{12}{7};-\frac17\right),\ (2;-1). $$

Ответ

а) $$\left(-\frac12;\frac94\right),\ (2;t),\ t\in\mathbb R$$

б) $$\left(\frac{12}{7};-\frac17\right),\ (2;-1)$$