Упр.14.12 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

y+x2=3
1+2log3(x+1)=log3(y);
б) система
x+2y3=3
2log2(y+1) = 2+log2(x).

а) Из системы имеем область допустимых значений: $$y>0,\quad x>-1.$$

Преобразуем второе уравнение:

$$1+\log_3\frac{(x+1)^2}{y}=0$$

$$\log_3\frac{(x+1)^2}{y}=-1$$

$$\frac{(x+1)^2}{y}=\frac13$$

$$y=3(x+1)^2.$$

Подставим в первое уравнение:

$$3(x+1)^2+x^2=3$$

$$3(x^2+2x+1)+x^2=3$$

$$4x^2+6x=0$$

$$2x(2x+3)=0.$$

Отсюда $$x=0$$ или $$x=-\frac32.$$

Но $$x=-\frac32$$ не подходит, так как $$x>-1.$$ Значит, $$x=0.$$ Тогда

$$y=3(0+1)^2=3.$$

б) Область допустимых значений: $$x>0,\quad y>-1.$$

Преобразуем второе уравнение:

$$2\log_2(y+1)=2+\log_2 x$$

$$\log_2 (y+1)^2=\log_2 4+\log_2 x$$

$$\log_2\frac{(y+1)^2}{x}=2$$

$$\frac{(y+1)^2}{x}=4.$$

Тогда

$$x=\frac{(y+1)^2}{4}.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\frac{(y+1)^2}{4}+2y^2=3$$

$$y^2+2y+1+8y^2=12$$

$$9y^2+2y-11=0.$$

Найдём корни:

$$D=2^2-4\cdot 9\cdot(-11)=4+396=400,$$

$$y=\frac{-2\pm 20}{18}.$$

Получаем:

$$y_1=1,\qquad y_2=-\frac{11}{9}.$$

Так как $$y>-1,$$ значение $$y=-\frac{11}{9}$$ не подходит. При $$y=1$$ имеем

$$x=\frac{(1+1)^2}{4}=1.$$

Ответ

а) $$\left(0;3\right)$$; б) $$\left(1;1\right)$$.