Упр.14.11 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

x+2y=13
2log4(x) — log4(2y-1) = 0,5;
б) система
2x-y=19
log9(2x-1) — log9(y) = -0,5.

Подробный ответ

а)

$$ \begin{cases} x+2y=13,\\ 2\log_4 x-\log_4(2y-1)=0{,}5. \end{cases} $$

$$ 2\log_4 x=\log_4 x^2,\qquad 0{,}5=\log_4 2. $$
Тогда
$$ \log_4 x^2-\log_4(2y-1)=\log_4 2, $$
откуда
$$ \log_4 \frac{x^2}{2y-1}=\log_4 2. $$
Следовательно,
$$ \frac{x^2}{2y-1}=2. $$

Получаем систему
$$ \begin{cases} x+2y=13,\\ x^2=2(2y-1). \end{cases} $$
Из первого уравнения
$$ x=13-2y. $$
Подставим во второе:
$$ (13-2y)^2=4y-2. $$
$$ 169-52y+4y^2=4y-2 $$
$$ 4y^2-56y+171=0. $$

$$ D=56^2-4\cdot 4\cdot 171=64, $$
$$ y=\frac{56\pm 8}{8}. $$
Отсюда
$$ y=4{,}5 \quad \text{или} \quad y=8. $$
Тогда
$$ x=13-2y, $$
значит
$$ x=4 \quad \text{или} \quad x=-3. $$

С учётом области допустимых значений: $$x>0,\; 2y-1>0,$$ подходит только пара $$x=4,\; y=4{,}5.$$

б)

$$ \begin{cases} 2x-y=19,\\ \log_9\frac{2x-1}{y}=-0{,}5. \end{cases} $$

$$ -0{,}5=\log_9\frac{1}{3}, $$
поэтому
$$ \frac{2x-1}{y}=\frac{1}{3}. $$
Тогда
$$ 3(2x-1)=y, $$
то есть
$$ y=6x-3. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ 2x-(6x-3)=19 $$
$$ -4x=16 $$
$$ x=-4. $$
Тогда
$$ y=6\cdot(-4)-3=-27. $$
Но для логарифма нужно $$\frac{2x-1}{y}>0,$$ а при найденных значениях
$$ \frac{2x-1}{y}=\frac{-9}{-27}=\frac{1}{3}>0, $$
однако из первого уравнения и условия задачи получаем отрицательные значения аргументов корней в исходной записи, поэтому решений в области допустимых значений нет.