Упр.14.10 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$\begin{cases}3y+x=10,\\ y-\log_{3}(x)=2;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}2x+y=5,\\ x-\log_{2}(y)=2;\end{cases}$$
   в) $$\begin{cases}2x=12,\\ \log_{2}(y)-x=2.\end{cases}$$

1. а) Из второго уравнения выразим $$y$$:

   $$y=2+\log_3 x.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$3^y+x=10$$

   $$3^{2+\log_3 x}+x=10.$$

   Так как $$3^{2+\log_3 x}=3^2\cdot 3^{\log_3 x}=9x,$$ получаем:

   $$9x+x=10$$

   $$10x=10$$

   $$x=1.$$

   Тогда

   $$y=2+\log_3 1=2.$$

2. б) Из второго уравнения выразим $$x$$:

   $$x=2+\log_2 y.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$2x+y=5$$

   $$2(2+\log_2 y)+y=5.$$

   Так как $$2\log_2 y=\log_2 y^2,$$ удобнее заметить, что при $$y=1$$ получаем:

   $$x=2+\log_2 1=2,$$

   и проверка даёт:

   $$2\cdot 2+1=5.$$

   Следовательно, $$x=2,\ y=1.$$

3. в) Из первого уравнения:

   $$2x=12 \Rightarrow x=6.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$\log_2 y-x=2$$

   $$\log_2 y-6=2$$

   $$\log_2 y=8.$$

   Тогда

   $$y=2^8=256.$$

Ответ

а) $$\left(1;2\right)$$; б) $$\left(2;1\right)$$; в) $$\left(6;256\right)$$.