Упр.137 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 137 (МИРЭА)

Подробный ответ

а) Рассмотрим уравнение
$$\frac{|x|-1}{\sqrt{17x^2+8}-5}=\frac13.$$
По определению модуля получаем два случая:
$$ \begin{cases} \dfrac{x-1}{\sqrt{17x^2+8}-5}=\dfrac13, & x\ge 0,\\[6pt] \dfrac{-x-1}{\sqrt{17x^2+8}-5}=\dfrac13, & x<0. \end{cases} $$
Тогда
$$ \begin{cases} 3(x-1)=\sqrt{17x^2+8}-5, & x\ge 0,\\ -3(x+1)=\sqrt{17x^2+8}-5, & x<0. \end{cases} $$
Отсюда
$$ \begin{cases} \sqrt{17x^2+8}=3x+2, & x\ge 0,\\ \sqrt{17x^2+8}=-3x+2, & x<0. \end{cases} $$
Возводим в квадрат:
$$ \begin{cases} 17x^2+8=(3x+2)^2, & x\ge 0,\\ 17x^2+8=(-3x+2)^2, & x<0. \end{cases} $$
Получаем:
$$ \begin{cases} 8x^2-12x+4=0, & x\ge 0,\\ 8x^2+12x-4=0, & x<0. \end{cases} $$
Решим квадратные уравнения:
$$ 8x^2-12x+4=0 \;\Rightarrow\; 2x^2-3x+1=0 \;\Rightarrow\; x=1,\; x=\frac12; $$
$$ 8x^2+12x-4=0 \;\Rightarrow\; 2x^2+3x-1=0 \;\Rightarrow\; x=-1,\; x=-\frac12. $$
Проверяем условия:
при $x\ge 0$ подходят $x=1$ и $x=\frac12$;
при $x<0$ подходят $x=-1$ и $x=-\frac12$.
б) Рассмотрим уравнение
$$\frac{|x|-1}{\sqrt{7x^2+2}-3}=\frac12.$$
Область допустимых значений:
$$\sqrt{7x^2+2}-3\ne 0 \;\Rightarrow\; 7x^2+2\ne 9 \;\Rightarrow\; x^2\ne 1 \;\Rightarrow\; x\ne \pm1.$$
По определению модуля:
$$ \begin{cases} \dfrac{x-1}{\sqrt{7x^2+2}-3}=\dfrac12, & x\ge 0,\\[6pt] \dfrac{-x-1}{\sqrt{7x^2+2}-3}=\dfrac12, & x<0. \end{cases} $$
Тогда
$$ \begin{cases} 2(x-1)=\sqrt{7x^2+2}-3, & x\ge 0,\\ -2(x+1)=\sqrt{7x^2+2}-3, & x<0. \end{cases} $$
Отсюда
$$ \begin{cases} \sqrt{7x^2+2}=2x-1, & x\ge 0,\\ \sqrt{7x^2+2}=-2x-1, & x<0. \end{cases} $$
Возводим в квадрат:
$$ \begin{cases} 7x^2+2=(2x-1)^2, & x\ge 0,\\ 7x^2+2=(-2x-1)^2, & x<0. \end{cases} $$
Получаем:
$$ \begin{cases} 3x^2+4x+1=0, & x\ge 0,\\ 3x^2-4x+1=0, & x<0. \end{cases} $$
Решим уравнения:
$$ 3x^2+4x+1=0 \;\Rightarrow\; x=-1,\; x=-\frac13; $$
$$ 3x^2-4x+1=0 \;\Rightarrow\; x=1,\; x=\frac13. $$
С учетом условий и ОДЗ подходят только $x=\frac13$ и $x=-\frac13$.
в) Рассмотрим уравнение
$$\frac{|x|-1}{\sqrt{10x^2+6}-4}=\frac13.$$
Область допустимых значений:
$$\sqrt{10x^2+6}-4\ne 0 \;\Rightarrow\; 10x^2+6\ne 16 \;\Rightarrow\; x^2\ne 1 \;\Rightarrow\; x\ne \pm1.$$
По определению модуля:
$$ \begin{cases} \dfrac{x-1}{\sqrt{10x^2+6}-4}=\dfrac13, & x\ge 0,\\[6pt] \dfrac{-x-1}{\sqrt{10x^2+6}-4}=\dfrac13, & x<0. \end{cases} $$
Тогда
$$ \begin{cases} 3(x-1)=\sqrt{10x^2+6}-4, & x\ge 0,\\ -3(x+1)=\sqrt{10x^2+6}-4, & x<0. \end{cases} $$
Отсюда
$$ \begin{cases} \sqrt{10x^2+6}=3x-1, & x\ge 0,\\ \sqrt{10x^2+6}=-3x-1, & x<0. \end{cases} $$
Возводим в квадрат:
$$ \begin{cases} 10x^2+6=(3x-1)^2, & x\ge 0,\\ 10x^2+6=(-3x-1)^2, & x<0. \end{cases} $$
Получаем:
$$ \begin{cases} x^2-6x+5=0, & x\ge 0,\\ x^2+6x+5=0, & x<0. \end{cases} $$
Отсюда
$$ \begin{cases} x=1,\; x=5, & x\ge 0,\\ x=-1,\; x=-5, & x<0. \end{cases} $$
С учетом условий и ОДЗ подходят все найденные корни.
г) Рассмотрим уравнение
$$\frac{|x|-1}{\sqrt{9x^2+7}-4}=\frac12.$$
Область допустимых значений:
$$\sqrt{9x^2+7}-4\ne 0 \;\Rightarrow\; 9x^2+7\ne 16 \;\Rightarrow\; x^2\ne 1 \;\Rightarrow\; x\ne \pm1.$$
По определению модуля:
$$ \begin{cases} \dfrac{x-1}{\sqrt{9x^2+7}-4}=\dfrac12, & x\ge 0,\\[6pt] \dfrac{-x-1}{\sqrt{9x^2+7}-4}=\dfrac12, & x<0. \end{cases} $$
Тогда
$$ \begin{cases} 2(x-1)=\sqrt{9x^2+7}-4, & x\ge 0,\\ -2(x+1)=\sqrt{9x^2+7}-4, & x<0. \end{cases} $$
Отсюда
$$ \begin{cases} \sqrt{9x^2+7}=2x+2, & x\ge 0,\\ \sqrt{9x^2+7}=-2x+2, & x<0. \end{cases} $$
Возводим в квадрат:
$$ \begin{cases} 9x^2+7=(2x+2)^2, & x\ge 0,\\ 9x^2+7=(-2x+2)^2, & x<0. \end{cases} $$
Получаем:
$$ \begin{cases} 5x^2-8x-1=0, & x\ge 0,\\ 5x^2+8x-1=0, & x<0. \end{cases} $$
Решим квадратные уравнения:
$$ 5x^2-8x-1=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{4\pm\sqrt{21}}{5}, $$
$$ 5x^2+8x-1=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{-4\pm\sqrt{21}}{5}. $$
С учетом условий и ОДЗ подходят корни
$$x=\frac{4+\sqrt{21}}{5},\quad x=\frac{4-\sqrt{21}}{5},\quad x=\frac{-4+\sqrt{21}}{5},\quad x=\frac{-4-\sqrt{21}}{5}.$$