Упр.136 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 136 (МФТИ)

1. а) Рассмотрим уравнение

   $$\sqrt{\frac{x+5}{2x+1}}-\sqrt{5x-3}=0.$$

   Перенесём один корень в другую часть и возведём в квадрат:

   $$\sqrt{\frac{x+5}{2x+1}}=\sqrt{5x-3}$$

   $$\frac{x+5}{2x+1}=5x-3.$$

   Решим полученное уравнение:

   $$x+5=(5x-3)(2x+1)$$

   $$x+5=10x^2-5x+6x-3$$

   $$10x^2+2x-8=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=2^2-4\cdot 10\cdot(-8)=324,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-2\pm 18}{20}.$$

   Отсюда

   $$x_1=\frac{4}{5}, \qquad x_2=-1.$$

   Проверим область допустимых значений:

   $$2x+1\ne 0,\qquad \frac{x+5}{2x+1}\ge 0,\qquad 5x-3\ge 0.$$

   Получаем

   $$x\in\left[\frac35;+\infty\right).$$

   Из найденных корней этому условию удовлетворяет только $$x=\frac45.$$

2. б) Рассмотрим уравнение

   $$\sqrt{\frac{x+7}{3x+5}}-\sqrt{x+4}=0.$$

   Перенесём один корень и возведём в квадрат:

   $$\sqrt{\frac{x+7}{3x+5}}=\sqrt{x+4}$$

   $$\frac{x+7}{3x+5}=x+4.$$

   Решим уравнение:

   $$x+7=(3x+5)(x+4)$$

   $$x+7=3x^2+17x+20$$

   $$3x^2+16x+13=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=16^2-4\cdot 3\cdot 13=100,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-16\pm 10}{6}.$$

   Тогда

   $$x_1=-1,\qquad x_2=-\frac{13}{3}.$$

   Проверим ОДЗ:

   $$3x+5\ne 0,\qquad \frac{x+7}{3x+5}\ge 0,\qquad x+4\ge 0.$$

   Из найденных корней подходит только $$x=-1.$$

Ответ

а) $$x=\frac45$$; б) $$x=-1$$.