Упр.135 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

135

а) Обозначим

$$A=\sqrt{21+x}, \quad B=\sqrt{21-x}.$$

Тогда уравнение имеет вид

$$\frac{A+B}{A-B}=\frac{21}{x}.$$

Домножим числитель и знаменатель левой части на $$A+B$$:

$$\frac{(A+B)^2}{A^2-B^2}=\frac{21}{x}.$$

Так как

$$A^2-B^2=(21+x)-(21-x)=2x,$$

получаем

$$\frac{(A+B)^2}{2x}=\frac{21}{x}, \quad x\ne 0.$$

Раскроем квадрат:

$$\frac{21+x+2\sqrt{(21+x)(21-x)}+21-x}{2x}=\frac{21}{x}.$$

Упростим:

$$\frac{42+2\sqrt{(21+x)(21-x)}}{2x}=\frac{21}{x},$$
$$\frac{21+\sqrt{(21+x)(21-x)}}{x}=\frac{21}{x}.$$

Следовательно,

$$\sqrt{(21+x)(21-x)}=0.$$

Тогда

$$441-x^2=0,$$
$$x^2=441,$$
$$x=\pm 21.$$

Оба значения удовлетворяют уравнению и области определения.

б) Сделаем замену:

$$t=\sqrt[4]{\frac{40x+1}{x-1}}, \quad t\ge 0.$$

Тогда

$$\sqrt[4]{\frac{x-1}{40x+1}}=\frac{1}{t}.$$

Получаем уравнение

$$2t-\frac{3}{t}=5.$$

Умножим на $$t$$:

$$2t^2-5t-3=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=25+24=49,$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 7}{4}.$$

Отсюда

$$t_1=3,\quad t_2=-\frac12.$$

Так как $$t\ge 0$$, подходит только $$t=3$$.

Тогда

$$\sqrt[4]{\frac{40x+1}{x-1}}=3,$$
$$\frac{40x+1}{x-1}=81.$$

Решим уравнение:

$$40x+1=81x-81,$$
$$41x=82,$$
$$x=2.$$

Проверка показывает, что это значение подходит.

Ответ

а) $$x=-21,\ 21$$
б) $$x=2$$