Упр.134 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 134 корень (4х — х2 — 3) (корень 2 cos х — корень (1 + cos 2х)) = 0.

Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{4x-x^2-3}\,(\sqrt{2}\cos x-\sqrt{1+\cos 2x})=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, при этом оба выражения под корнями должны быть определены.

Найдём область допустимых значений:

$$4x-x^2-3\ge 0,$$

$$1+\cos 2x\ge 0.$$

Из первого неравенства:

$$4x-x^2-3\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x^2-4x+3\le 0 \;\Longleftrightarrow\; x\in[1;3].$$

Теперь решим уравнение как совокупность:

$$ \begin{cases} \sqrt{4x-x^2-3}=0,\\ \sqrt{2}\cos x-\sqrt{1+\cos 2x}=0. \end{cases} $$

1) $$\sqrt{4x-x^2-3}=0 \Longleftrightarrow 4x-x^2-3=0.$$

$$x^2-4x+3=0,$$

$$x_1=1,\quad x_2=3.$$

2) $$\sqrt{2}\cos x=\sqrt{1+\cos 2x}.$$

Возведём в квадрат:

$$2\cos^2 x=1+\cos 2x.$$

Так как $$1+\cos 2x=2\cos^2 x,$$ получаем тождество, а значит нужно лишь учесть условие существования корня:

$$\cos x\ge 0.$$

Следовательно, второе уравнение выполняется при всех $$x$$, для которых $$\cos x\ge 0$$ и $$x\in[1;3].$$

На отрезке $$[1;3]$$ это даёт точку $$x=\frac{\pi}{2}.$$

Итак, из найденных значений подходят:

$$x=1,\;3,\;\frac{\pi}{2}.$$

Ответ

$$x\in\left\{1;\,3;\,\frac{\pi}{2}\right\}.$$