Упр.133 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) (2cos2x — cosx — 1) корень ctgx = 0.

а) Рассмотрим уравнение

$$\left(2\sin^2 x-3\sin x+1\right)\sqrt{\tg x}=0.$$

Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то

$$\tg x\ge 0.$$

Следовательно,

$$x\in\left[\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right],\quad k\in\mathbb Z.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$ \begin{cases} 2\sin^2 x-3\sin x+1=0,\\ \sqrt{\tg x}=0. \end{cases} $$

Из второго уравнения получаем

$$\tg x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Первое уравнение решим как квадратное относительно $$\sin x$$:

$$ 2\sin^2 x-3\sin x+1=0 $$

$$ (2\sin x-1)(\sin x-1)=0. $$

Отсюда

$$\sin x=\frac12 \quad \text{или} \quad \sin x=1.$$

Тогда

$$ x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

С учётом условия $$\tg x\ge 0$$ подходят только значения

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad x=\pi k,\quad k,n\in\mathbb Z.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\left(2\cos^2 x-\cos x-1\right)\sqrt{\ctg x}=0.$$

Область допустимых значений задаётся условием

$$\ctg x\ge 0,$$

то есть

$$x\in\left(\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right],\quad k\in\mathbb Z.$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} 2\cos^2 x-\cos x-1=0,\\ \sqrt{\ctg x}=0. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$\ctg x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Первое уравнение:

$$ 2\cos^2 x-\cos x-1=0 $$

$$ (2\cos x+1)(\cos x-1)=0. $$

Отсюда

$$\cos x=1 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12.$$

Тогда

$$ x=2\pi n,\quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

С учётом условия $$\ctg x\ge 0$$ подходят только

$$x=2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k,n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pi k,\; x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad k,n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=2\pi n,\; x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k,n\in\mathbb Z.$$