Упр.132 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) (cos х + sin х + корень 2) корень (-х2 — 7х — 12) = 0.

а)

Рассмотрим уравнение

$$\left(\sin x+\cos x-\sqrt2\right)\sqrt{-11x-x^2-30}=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. При этом подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$-11x-x^2-30\ge 0,$$

$$x^2+11x+30\le 0,$$

$$x\in[-6;-5].$$

Теперь решаем систему:

$$ \begin{cases} \sin x+\cos x-\sqrt2=0,\\ -11x-x^2-30=0. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$x^2+11x+30=0,$$

$$x_1=-6,\quad x_2=-5.$$

Первое уравнение преобразуем:

$$\sin x+\cos x=\sqrt2,$$

$$\frac{1}{\sqrt2}\sin x+\frac{1}{\sqrt2}\cos x=1,$$

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

С учётом условия $$x\in[-6;-5]$$ получаем только

$$x=-\frac{7\pi}{4}.$$

Следовательно, решения уравнения:

$$x\in\left\{-6;\,-5;\,-\frac{7\pi}{4}\right\}.$$

б)

Рассмотрим уравнение

$$\left(\cos x+\sin x+\sqrt2\right)\sqrt{-x^2-7x-12}=0.$$

Тогда

$$-x^2-7x-12\ge 0,$$

$$x^2+7x+12\le 0,$$

$$x\in[-4;-3].$$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} \cos x+\sin x+\sqrt2=0,\\ -x^2-7x-12=0. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$x^2+7x+12=0,$$

$$x_1=-4,\quad x_2=-3.$$

Первое уравнение преобразуем:

$$\cos x+\sin x=-\sqrt2,$$

$$\frac{1}{\sqrt2}\cos x+\frac{1}{\sqrt2}\sin x=-1,$$

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-1.$$

Отсюда

$$x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

С учётом условия $$x\in[-4;-3]$$ получаем

$$x=-\frac{5\pi}{4}.$$

Следовательно, решения уравнения:

$$x\in\left\{-4;\,-3;\,-\frac{5\pi}{4}\right\}.$$

Ответ

а) $$x\in\left\{-6;\,-5;\,-\frac{7\pi}{4}\right\};$$ б) $$x\in\left\{-4;\,-3;\,-\frac{5\pi}{4}\right\}.$$