Упр.131 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) (5cosx- 3 корень 3)(5соsх- 2 корень 6) = 0.

а)

$$ (7\sin x-4\sqrt{3})(7\sin x-5\sqrt{3})=0 $$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$ 7\sin x-4\sqrt{3}=0 \quad \text{или} \quad 7\sin x-5\sqrt{3}=0 $$

$$ \sin x=\frac{4\sqrt{3}}{7} \quad \text{или} \quad \sin x=\frac{5\sqrt{3}}{7} $$

Но

$$ \frac{5\sqrt{3}}{7}>1, $$

значит, второе уравнение решений не имеет. Тогда

$$ \sin x=\frac{4\sqrt{3}}{7} $$

Отсюда

$$ x=(-1)^k\arcsin\frac{4\sqrt{3}}{7}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}. $$

б)

$$ (5\cos x-3\sqrt{3})(5\cos x-2\sqrt{6})=0 $$

Тогда

$$ 5\cos x-3\sqrt{3}=0 \quad \text{или} \quad 5\cos x-2\sqrt{6}=0 $$

$$ \cos x=\frac{3\sqrt{3}}{5} \quad \text{или} \quad \cos x=\frac{2\sqrt{6}}{5} $$

Но

$$ \frac{3\sqrt{3}}{5}>1, $$

значит, первое уравнение решений не имеет. Остаётся

$$ \cos x=\frac{2\sqrt{6}}{5} $$

Следовательно,

$$ x=\pm \arccos\frac{2\sqrt{6}}{5}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}. $$

Ответ

а) $$x=(-1)^k\arcsin\frac{4\sqrt{3}}{7}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$

б) $$x=\pm \arccos\frac{2\sqrt{6}}{5}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$