Упр.13.9 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- а) $$\log_2(x^2+2x+2)+\log_3(x^6+2x^5+x^4+1)=0$$;
б) $$\log_4(x^2+4x+5)+\log_5(x^6+4x^5+4x^4+1)=0$$;
в) $$\log_6(x^2+6x+10)+\log_7^2\left(\sqrt[3]{x+2}+2\right)=0$$;
г) $$\log_8(x^2+8x+17)+\log_9^2\left(\sqrt[5]{x-28}+3\right)=0$$.
а) Перепишем уравнение:
$$\log_2(x^2+2x+2)+\log_3(x^6+2x^5+x^4+1)=0.$$
Заметим, что
$$x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0,$$
$$x^6+2x^5+x^4+1=(x^3+x^2)^2+1>1.$$
Значит, оба логарифма неотрицательны, и сумма равна нулю только тогда, когда каждый из них равен нулю:
$$\begin{cases} \log_2\big((x+1)^2+1\big)=0,\\ \log_3\big((x^3+x^2)^2+1\big)=0. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$(x+1)^2+1=1 \Rightarrow (x+1)^2=0 \Rightarrow x=-1.$$
Проверка:
$$\log_3\big(((-1)^3+(-1)^2)^2+1\big)=\log_3 1=0.$$
Следовательно, $$x=-1.$$
б) Аналогично:
$$\log_4(x^2+4x+5)+\log_5(x^6+4x^5+4x^4+1)=0.$$
Имеем
$$x^2+4x+5=(x+2)^2+1>0,$$
$$x^6+4x^5+4x^4+1=(x^3+2x^2)^2+1>1.$$
Тогда
$$\begin{cases} \log_4\big((x+2)^2+1\big)=0,\\ \log_5\big((x^3+2x^2)^2+1\big)=0. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$(x+2)^2+1=1 \Rightarrow (x+2)^2=0 \Rightarrow x=-2.$$
Проверка:
$$\log_5\big(((-2)^3+2(-2)^2)^2+1\big)=\log_5 1=0.$$
Следовательно, $$x=-2.$$
в) Запишем уравнение:
$$\log_6(x^2+6x+10)+\log_7^2(\sqrt[3]{x+2}+2)=0.$$
Так как
$$x^2+6x+10=(x+3)^2+1>0,$$
а $$\log_7^2(\sqrt[3]{x+2}+2)\ge 0,$$
то сумма равна нулю только при
$$\begin{cases} \log_6\big((x+3)^2+1\big)=0,\\ \log_7(\sqrt[3]{x+2}+2)=0. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$(x+3)^2+1=1 \Rightarrow x=-3.$$
Проверка:
$$\log_7(\sqrt[3]{-3+2}+2)=\log_7(1)=0.$$
Следовательно, $$x=-3.$$
г) Имеем:
$$\log_8(x^2+8x+17)+\log_9^2(\sqrt[5]{x-28}+3)=0.$$
Причём
$$x^2+8x+17=(x+4)^2+1>0,$$
а $$\log_9^2(\sqrt[5]{x-28}+3)\ge 0.$$
Значит,
$$\begin{cases} \log_8\big((x+4)^2+1\big)=0,\\ \log_9(\sqrt[5]{x-28}+3)=0. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$(x+4)^2+1=1 \Rightarrow x=-4.$$
Проверка:
$$\log_9(\sqrt[5]{-4-28}+3)=\log_9(1)=0.$$
Следовательно, $$x=-4.$$
Ответ
а) $$-1$$; б) $$-2$$; в) $$-3$$; г) $$-4$$.
