Упр.13.9 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) log4(x2 + 4х + 5) + log5(x6 + 4×5 + 4×4 + 1) = 0;
в) log6(x2 + 6x + 10) + log^2 7(корень 3 степени (x+2) + 2) = 0;
г) log8(x2 + 8x + 17) + log^2 9(корень 5 степени (x-28) + 3) = 0.

Решение

а) Перепишем уравнение:

$$\log_2(x^2+2x+2)+\log_3(x^6+2x^5+x^4+1)=0.$$

Заметим, что

$$x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0,$$

$$x^6+2x^5+x^4+1=(x^3+x^2)^2+1>1.$$

Значит, оба логарифма неотрицательны, и сумма равна нулю только тогда, когда каждый из них равен нулю:

$$ \begin{cases} \log_2\big((x+1)^2+1\big)=0,\\ \log_3\big((x^3+x^2)^2+1\big)=0. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ (x+1)^2+1=1 \Rightarrow (x+1)^2=0 \Rightarrow x=-1.$$

Проверка:

$$\log_3\big(((-1)^3+(-1)^2)^2+1\big)=\log_3 1=0.$$

Следовательно, $$x=-1.$$

б) Аналогично:

$$\log_4(x^2+4x+5)+\log_5(x^6+4x^5+4x^4+1)=0.$$

Имеем

$$x^2+4x+5=(x+2)^2+1>0,$$

$$x^6+4x^5+4x^4+1=(x^3+2x^2)^2+1>1.$$

Тогда

$$ \begin{cases} \log_4\big((x+2)^2+1\big)=0,\\ \log_5\big((x^3+2x^2)^2+1\big)=0. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ (x+2)^2+1=1 \Rightarrow (x+2)^2=0 \Rightarrow x=-2.$$

Проверка:

$$\log_5\big(((-2)^3+2(-2)^2)^2+1\big)=\log_5 1=0.$$

Следовательно, $$x=-2.$$

в) Запишем уравнение:

$$\log_6(x^2+6x+10)+\log_7^2(\sqrt[3]{x+2}+2)=0.$$

Так как

$$x^2+6x+10=(x+3)^2+1>0,$$

а $$\log_7^2(\sqrt[3]{x+2}+2)\ge 0,$$

то сумма равна нулю только при

$$ \begin{cases} \log_6\big((x+3)^2+1\big)=0,\\ \log_7(\sqrt[3]{x+2}+2)=0. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ (x+3)^2+1=1 \Rightarrow x=-3.$$

Проверка:

$$\log_7(\sqrt[3]{-3+2}+2)=\log_7(1)=0.$$

Следовательно, $$x=-3.$$

г) Имеем:

$$\log_8(x^2+8x+17)+\log_9^2(\sqrt[5]{x-28}+3)=0.$$

Причём

$$x^2+8x+17=(x+4)^2+1>0,$$

а $$\log_9^2(\sqrt[5]{x-28}+3)\ge 0.$$

Значит,

$$ \begin{cases} \log_8\big((x+4)^2+1\big)=0,\\ \log_9(\sqrt[5]{x-28}+3)=0. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ (x+4)^2+1=1 \Rightarrow x=-4.$$

Проверка:

$$\log_9(\sqrt[5]{-4-28}+3)=\log_9(1)=0.$$

Следовательно, $$x=-4.$$

Ответ

а) $$-1$$; б) $$-2$$; в) $$-3$$; г) $$-4$$.