Упр.13.7 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$9^x-2\cdot6^x+2\cdot4^x-2\cdot2^x+1=0$$; б) $$25^x-5\cdot10^x+29\cdot4^{x-1}-4\cdot2^x+4=0$$.

а) Перепишем уравнение в виде суммы квадратов:

$$9^x-2\cdot 6^x+2\cdot 4^x-2\cdot 2^x+1=0$$

$$\left(3^x-2^x\right)^2+\left(2^x-1\right)^2=0$$

Каждое слагаемое в левой части неотрицательно, значит сумма равна нулю только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

$$\begin{cases} 3^x-2^x=0,\\ 2^x-1=0. \end{cases}$$

Из второго уравнения получаем:

$$2^x=1 \Rightarrow x=0.$$

Проверка в первом уравнении:

$$3^0-2^0=1-1=0.$$

Значит, $$x=0$$.

б) Перепишем уравнение:

$$25^x-5\cdot 10^x+29\cdot 4^{x-1}-4\cdot 2^x+4=0$$

Так как $$29\cdot 4^{x-1}=\dfrac{29}{4}\cdot 4^x,$$ получаем:

$$25^x-5\cdot 10^x+\frac{25}{4}\cdot 4^x+4^x-4\cdot 2^x+4=0$$

$$\left(5^x-\frac{5}{2}\cdot 2^x\right)^2+\left(2^x-2\right)^2=0$$

Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю только при одновременном равенстве нулю каждого из них:

$$\begin{cases} 5^x-\dfrac{5}{2}\cdot 2^x=0,\\ 2^x-2=0. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$2^x=2 \Rightarrow x=1.$$

Проверка в первом уравнении:

$$5^1-\frac{5}{2}\cdot 2^1=5-5=0.$$

Значит, $$x=1$$.

Ответ

а) $$0$$; б) $$1$$.