Упр.13.6 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение (13.6—13.9):
   а) $$(\log_2(x-5)-\sin \pi x)^2+(x-6)^2=0$$;
   б) $$(\log_3(x-2)-\sin \frac{\pi x}{2})^2+(x-5)^2=0$$.

1. а) Рассмотрим уравнение

   $$\left(\log_2(x-5)-\sin \pi x\right)^2+(x-6)^2=0.$$

   Каждое слагаемое неотрицательно, значит сумма равна нулю только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

   $$\begin{cases} \log_2(x-5)-\sin \pi x=0,\\ x-6=0. \end{cases}$$

   Из второго уравнения получаем $$x=6.$$ Проверим:

   $$\log_2(6-5)-\sin 6\pi=0-0=0.$$

   Значит, $$x=6$$ — решение.

2. б) Рассмотрим уравнение

   $$\left(\log_3(x-2)-\sin \frac{\pi x}{2}\right)^2+(x-5)^2=0.$$

   Сумма неотрицательных выражений равна нулю только при одновременном обращении их в нуль:

   $$\begin{cases} \log_3(x-2)-\sin \frac{\pi x}{2}=0,\\ x-5=0. \end{cases}$$

   Отсюда $$x=5.$$ Проверим:

   $$\log_3(5-2)-\sin \frac{5\pi}{2}= \log_3 3 — 1 = 1-1=0.$$

   Следовательно, $$x=5$$ — решение.

Ответ

а) $$6$$; б) $$5$$.