Упр.13.5 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$3^{\sqrt{\sin x-1}}+\log_3(x^2+3)>\cos x+2$$;
   б) $$4^{\sqrt{\cos x-1}}+\log_3\left(\frac{x}{2\pi}\right)>\cos x+1$$.

Область определения задаётся условием подкоренного выражения:

$$\sin x-1\ge 0.$$

Так как $$\sin x\le 1,$$ то возможно только

$$\sin x=1.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверим это значение в неравенстве:

$$3^{\sqrt{\sin x-1}}+\log_3(x^2+3)>\cos x+2.$$

При $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ имеем

$$\sqrt{\sin x-1}=0,\qquad \cos x=0.$$

Тогда левая часть равна

$$3^0+\log_3\!\left(\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)^2+3\right)=1+\log_3\!\left(\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)^2+3\right).$$

Так как

$$\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)^2+3>3,$$

то

$$\log_3\!\left(\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)^2+3\right)>1.$$

Следовательно, левая часть больше $$2,$$ а правая часть равна $$2,$$ значит неравенство выполняется для всех найденных значений.

Ответ

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$