Упр.13.36 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$2\sin^8 2x-5\cos^7 4x=7$$; б) $$5\sin^7 3x+2\cos^4 2x=7$$; в) $$3\sin^3 2x-7\cos^4 4x=-10$$; г) $$7\sin^4 3x+4\cos^8 2x=11$$.

а) Рассмотрим уравнение

$$2\sin^8 2x-5\cos^7 4x=7.$$

Так как $$\sin^8 2x\le 1,$$ а $$\cos^7 4x\ge -1,$$ то левая часть не может быть больше $$2\cdot 1-5\cdot(-1)=7.$$

Значит, равенство возможно только при одновременном выполнении условий

$$\sin^8 2x=1,\qquad \cos^7 4x=-1.$$

Из $$\sin^8 2x=1$$ получаем $$\sin 2x=\pm 1,$$ а из $$\cos^7 4x=-1$$ следует $$\cos 4x=-1.$$

Если $$\sin 2x=1,$$ то

$$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Проверка:

$$\cos 4x=\cos\left(\pi+4\pi k\right)=\cos\pi=-1.$$

Если $$\sin 2x=-1,$$ то

$$2x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Проверка:

$$\cos 4x=\cos\left(-\pi+4\pi k\right)=\cos\pi=-1.$$

Оба семейства решений можно записать в виде

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\qquad k\in\mathbb Z.$$

б) Для уравнения

$$5\sin^7 3x+2\cos^4 2x=7$$

имеем $$\sin^7 3x\le 1$$ и $$\cos^4 2x\le 1.$$ Тогда левая часть не превосходит

$$5\cdot 1+2\cdot 1=7.$$

Равенство возможно только при

$$\sin^7 3x=1,\qquad \cos^4 2x=1,$$

то есть

$$\sin 3x=1,\qquad \cos 2x=\pm 1.$$

Из $$\sin 3x=1$$ получаем

$$3x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3},\qquad k\in\mathbb Z.$$

Проверка показывает, что при этих значениях $$x$$ действительно $$\cos 2x=\pm 1,$$ значит, все они подходят.

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3},\qquad k\in\mathbb Z.$$

в) Рассмотрим уравнение

$$3\sin^3 2x-7\cos^4 4x=-10.$$

Так как $$\sin^3 2x\ge -1,$$ а $$\cos^4 4x\le 1,$$ то левая часть не меньше

$$3\cdot(-1)-7\cdot 1=-10.$$

Значит, равенство возможно только при

$$\sin^3 2x=-1,\qquad \cos^4 4x=1.$$

Отсюда

$$\sin 2x=-1,\qquad \cos 4x=\pm 1.$$

Из $$\sin 2x=-1$$ получаем

$$2x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Для этих значений $$x$$ действительно $$\cos 4x=1,$$ значит, они подходят.

Следовательно,

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

г) Для уравнения

$$7\sin^4 3x+4\cos^8 2x=11$$

имеем $$\sin^4 3x\le 1$$ и $$\cos^8 2x\le 1.$$ Тогда левая часть не превосходит

$$7\cdot 1+4\cdot 1=11.$$

Равенство возможно только при

$$\sin^4 3x=1,\qquad \cos^8 2x=1,$$

то есть

$$\sin 3x=\pm 1,\qquad \cos 2x=\pm 1.$$

Из $$\sin 3x=\pm 1$$ получаем

$$3x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3},\qquad k\in\mathbb Z.$$

При этих значениях $$x$$ выполняется и $$\cos 2x=\pm 1,$$ поэтому все они являются решениями.

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3},\qquad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3},\ k\in\mathbb Z.$$

в) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

г) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3},\ k\in\mathbb Z.$$