Упр.13.35 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

13.35 a) sinxcos8x = 1;
б) sin6x cos4x = -1;
в) sin3x cos 12х = 1;
г) sin4x cos 16х = -1.

Подробный ответ

а)
$$\sin x\cos 8x=1$$
Так как $$|\sin x|\le 1$$ и $$|\cos 8x|\le 1,$$ то произведение равно $$1$$ только при
$$\sin x=1,\quad \cos 8x=1$$
или
$$\sin x=-1,\quad \cos 8x=-1.$$
Проверим:
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k \Rightarrow \cos 8x=\cos(4\pi+16\pi k)=1,$$
то есть подходит.
Если $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,$$ то
$$\cos 8x=\cos(-4\pi+16\pi k)=1\ne -1,$$
значит, это не решение.
Итак,
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
б)
$$\sin 6x\cos 4x=-1$$
Равенство $$-1$$ возможно только при
$$\sin 6x=-1,\quad \cos 4x=1$$
или
$$\sin 6x=1,\quad \cos 4x=-1.$$
1) Если $$\cos 4x=-1,$$ то
$$4x=\pi+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
Тогда
$$\sin 6x=\sin\left(\frac{3\pi}{2}+3\pi n\right),$$
и при чётных $$n$$ получаем $$\sin 6x=-1,$$ а при нечётных — $$\sin 6x=1.$$
Подходят только чётные $$n=2m,$$ поэтому
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi m,\quad m\in\mathbb Z.$$
2) Если $$\cos 4x=1,$$ то
$$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z,$$
и тогда
$$\sin 6x=\sin 3\pi n=0,$$
что не подходит.
Следовательно,
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi m,\quad m\in\mathbb Z.$$
в)
$$\sin 3x\cos 12x=1$$
Аналогично, нужно, чтобы
$$\sin 3x=1,\quad \cos 12x=1$$
или
$$\sin 3x=-1,\quad \cos 12x=-1.$$
1) Если $$\sin 3x=1,$$ то
$$3x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$
Тогда
$$\cos 12x=\cos\left(2\pi+8\pi n\right)=1,$$
то есть это решение подходит.
2) Если $$\sin 3x=-1,$$ то
$$3x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z,$$
и
$$\cos 12x=\cos\left(-2\pi+8\pi n\right)=1\ne -1,$$
поэтому это не подходит.
Итак,
$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$
г)
$$\sin 4x\cos 16x=-1$$
Возможны случаи:
$$\sin 4x=-1,\quad \cos 16x=1$$
или
$$\sin 4x=1,\quad \cos 16x=-1.$$
1) Если $$\sin 4x=-1,$$ то
$$4x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
Тогда
$$\cos 16x=\cos\left(-2\pi+8\pi n\right)=1,$$
значит, это решение подходит.
2) Если $$\sin 4x=1,$$ то
$$4x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z,$$
и
$$\cos 16x=\cos\left(2\pi+8\pi n\right)=1\ne -1,$$
поэтому это не подходит.
Следовательно,
$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$