Упр.13.34 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Сколько действительных корней имеет уравнение:
а) $$2x^4-4x^2+1=0$$;
б) $$2x^4-8x+1=0$$?

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=2x^4-4x^2+1.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=8x^3-8x=8x(x-1)(x+1).$$

Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$

Исследуем знак производной:

на $$(-\infty,-1)$$ функция убывает;
на $$(-1,0)$$ функция возрастает;
на $$(0,1)$$ функция убывает;
на $$(1,+\infty)$$ функция возрастает.

Вычислим значения функции в критических точках:

$$f(-1)=2-4+1=-1,\quad f(0)=1,\quad f(1)=2-4+1=-1.$$

Так как функция непрерывна, то на каждом из промежутков $$(-\infty,-1),\;(-1,0),\;(0,1),\;(1,+\infty)$$ она принимает значение $$0$$ ровно один раз. Значит, уравнение имеет 4 действительных корня.

б) Рассмотрим функцию $$f(x)=2x^4-8x^2+1.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=8x^3-16x=8x(x^2-2).$$

Критические точки: $$x=-\sqrt2,\;0,\;\sqrt2.$$

Исследуем поведение функции:

на $$(-\infty,-\sqrt2)$$ функция убывает;
на $$(-\sqrt2,0)$$ функция возрастает;
на $$(0,\sqrt2)$$ функция убывает;
на $$(\sqrt2,+\infty)$$ функция возрастает.

Вычислим значения в критических точках:

$$f(0)=1,\quad f(\pm\sqrt2)=2\cdot 4-8\cdot 2+1=8-16+1=-7.$$

На промежутке $$(-\infty,-\sqrt2)$$ функция убывает от $$+\infty$$ до $$-7$$, значит, имеет один корень. На $$(-\sqrt2,0)$$ функция возрастает от $$-7$$ до $$1$$, значит, имеет ещё один корень. На $$(0,\sqrt2)$$ функция убывает от $$1$$ до $$-7$$, значит, имеет третий корень. На $$(\sqrt2,+\infty)$$ функция возрастает от $$-7$$ до $$+\infty$$, значит, имеет четвёртый корень.

Следовательно, уравнение имеет 4 действительных корня.