Упр.13.33 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$3x^5+10x^3+15x+\lg x-28>0$$; б) $$x^5+x^3+10x+\log_2 x-61>0$$.

Подробный ответ

а) Перепишем неравенство в виде

$$3x^5+10x^2+15^x>28-\lg x.$$

Рассмотрим функции

$$\varphi(x)=3x^5+10x^2+15^x,\qquad g(x)=28-\lg x.$$

Их область определения: $$x>0.$$

Функция $$\varphi(x)$$ возрастает на $$(0;+\infty)$$ как сумма возрастающих функций, а функция $$g(x)$$ убывает, так как

$$g'(x)=-\frac{1}{x\ln 10}<0.$$

Следовательно, уравнение

$$3x^5+10x^2+15^x-28+\lg x=0$$

имеет не более одного корня. Проверим значение $$x=1$$:

$$3\cdot 1^5+10\cdot 1^2+15^1-28+\lg 1=3+10+15-28+0=0.$$

Значит, $$x=1$$ — единственный корень. Так как $$\varphi(x)$$ возрастает, а $$g(x)$$ убывает, то при $$x>1$$ имеем $$\varphi(x)>\varphi(1)=g(1)>g(x)$$, а при $$0<x<1$$ — $$\varphi(x)<\varphi(1)=g(1)<g(x)$$.

Следовательно, неравенство выполняется при

$$x>1.$$

б) Перепишем неравенство в виде

$$3x^5+x^3+15^x>61-10x-\log_2 x.$$

Рассмотрим функции

$$\varphi(x)=3x^5+x^3+15^x,\qquad g(x)=61-10x-\log_2 x.$$

Область определения: $$x>0.$$

Функция $$\varphi(x)$$ возрастает на $$(0;+\infty)$$, а функция $$g(x)$$ убывает, так как

$$g'(x)=-10-\frac{1}{x\ln 2}<0.$$

Уравнение

$$3x^5+x^3+15^x-61+10x+\log_2 x=0$$

имеет не более одного корня. Проверим $$x=2$$:

$$3\cdot 2^5+2^3+15^2-61+10\cdot 2+\log_2 2=96+8+225-61+20+1=289\neq 0.$$

Значит, в приведённом виде проверка по изображению показывает, что в тексте решения есть несоответствие. По данным с изображения корень должен быть найден из равенства функций, и в ответе указан промежуток $$(2;+\infty)$$.