Упр.13.32 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- 13.32. Решите неравенство:
а) $$12x^5+10x^3+35x-17\sin 2x>0$$;
б) $$10x^5+25x^3+39x+11-11\cos 2x>0$$.
а) Перепишем неравенство в виде
$$12x^5+10x^3>17\sin 2x-35x.$$
Рассмотрим функции $$\varphi(x)=12x^5+10x^3$$ и $$g(x)=17\sin 2x-35x.$$ Они определены при всех $$x\in\mathbb{R}$$.
Функция $$\varphi(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, так как
$$\varphi'(x)=60x^4+30x^2\ge 0.$$
Функция $$g(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, поскольку
$$g'(x)=34\cos 2x-35<0.$$
Следовательно, уравнение
$$12x^5+10x^3=17\sin 2x-35x$$
имеет не более одного корня. Проверим $$x=0$$:
$$12\cdot 0^5+10\cdot 0^3=17\sin 0-35\cdot 0=0.$$
Значит, это единственный корень. Так как $$\varphi(x)$$ возрастает, а $$g(x)$$ убывает, то при $$x>0$$ имеем $$\varphi(x)>g(x)$$, а при $$x<0$$ — $$\varphi(x)<g(x)$$.
Следовательно, неравенство выполняется при
$$x>0.$$
б) Перепишем неравенство в виде
$$10x^5+25x^3>11\cos 2x-39x-11.$$
Рассмотрим функции $$\varphi(x)=10x^5+25x^3$$ и $$g(x)=11\cos 2x-39x-11.$$ Они определены при всех $$x\in\mathbb{R}$$.
Функция $$\varphi(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, так как
$$\varphi'(x)=50x^4+75x^2\ge 0.$$
Функция $$g(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, поскольку
$$g'(x)=-22\sin 2x-39<0.$$
Уравнение
$$10x^5+25x^3=11\cos 2x-39x-11$$
имеет не более одного корня. Проверим $$x=0$$:
$$10\cdot 0^5+25\cdot 0^3=11\cos 0-39\cdot 0-11=0.$$
Значит, это единственный корень. Тогда при $$x>0$$ имеем $$\varphi(x)>g(x)$$, а при $$x<0$$ — $$\varphi(x)<g(x)$$.
Следовательно, неравенство выполняется при
$$x>0.$$
Ответ
а) $$\left(0;+\infty\right)$$; б) $$\left(0;+\infty\right)$$.
