Упр.13.32 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

13.32 а) 12х5 + 10×3 + 35x — 17 sin 2x > 0;
б) 10×5 + 25х3 + 39х +11-11cos 2x > 0.

а) Перепишем неравенство в виде

$$12x^5+10x^3>17\sin 2x-35x.$$

Рассмотрим функции $$\varphi(x)=12x^5+10x^3$$ и $$g(x)=17\sin 2x-35x.$$ Они определены при всех $$x\in\mathbb{R}$$.

Функция $$\varphi(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, так как

$$\varphi'(x)=60x^4+30x^2\ge 0.$$

Функция $$g(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, поскольку

$$g'(x)=34\cos 2x-35<0.$$

Следовательно, уравнение

$$12x^5+10x^3=17\sin 2x-35x$$

имеет не более одного корня. Проверим $$x=0$$:

$$12\cdot 0^5+10\cdot 0^3=17\sin 0-35\cdot 0=0.$$

Значит, это единственный корень. Так как $$\varphi(x)$$ возрастает, а $$g(x)$$ убывает, то при $$x>0$$ имеем $$\varphi(x)>g(x)$$, а при $$x<0$$ — $$\varphi(x)<g(x)$$.

Следовательно, неравенство выполняется при

$$x>0.$$

б) Перепишем неравенство в виде

$$10x^5+25x^3>11\cos 2x-39x-11.$$

Рассмотрим функции $$\varphi(x)=10x^5+25x^3$$ и $$g(x)=11\cos 2x-39x-11.$$ Они определены при всех $$x\in\mathbb{R}$$.

Функция $$\varphi(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, так как

$$\varphi'(x)=50x^4+75x^2\ge 0.$$

Функция $$g(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, поскольку

$$g'(x)=-22\sin 2x-39<0.$$

Уравнение

$$10x^5+25x^3=11\cos 2x-39x-11$$

имеет не более одного корня. Проверим $$x=0$$:

$$10\cdot 0^5+25\cdot 0^3=11\cos 0-39\cdot 0-11=0.$$

Значит, это единственный корень. Тогда при $$x>0$$ имеем $$\varphi(x)>g(x)$$, а при $$x<0$$ — $$\varphi(x)<g(x)$$.

Следовательно, неравенство выполняется при

$$x>0.$$

Ответ

а) $$\left(0;+\infty\right)$$; б) $$\left(0;+\infty\right)$$.