Упр.13.31 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) x3/2 (1-x) = 6/25 * корень (3/5);
в) x-x2/2 = ln(x+1).

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение $$x^2-1=2\ln x.$$
Область определения: $$x>0.$$
Перенесём всё в одну сторону и введём функцию
$$\varphi(x)=x^2-1-2\ln x.$$
Найдём производную:
$$\varphi'(x)=2x-\frac{2}{x}.$$
При $$x\in(0;1)$$ имеем $$\varphi'(x)<0,$$ а при $$x\in(1;+\infty)$$ имеем $$\varphi'(x)>0.$$
Значит, функция убывает на $$ (0;1) $$ и возрастает на $$ (1;+\infty). $$ Следовательно, в точке $$x=1$$ достигается минимум.
$$\varphi(1)=1-1-2\ln 1=0.$$
Так как минимум функции равен нулю, то уравнение имеет единственное решение:
$$x=1.$$
Рассмотрим уравнение $$x^{3/2}(1-x)=\frac{6}{25}\sqrt{\frac35}.$$
Перенесём всё в одну сторону и введём функцию
$$\varphi(x)=x^{3/2}(1-x)-\frac{6}{25}\sqrt{\frac35}.$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Найдём производную:
$$\varphi'(x)=\frac32x^{1/2}(1-x)-x^{3/2}=x^{1/2}\left(\frac32-\frac52x\right).$$
Производная равна нулю при $$x=\frac35.$$
На промежутке $$\left(0;\frac35\right)$$ функция возрастает, а на $$\left(\frac35;+\infty\right)$$ убывает. Значит, в точке $$x=\frac35$$ достигается максимум.
Вычислим значение функции в этой точке:
$$\varphi\!\left(\frac35\right)=\left(\frac35\right)^{3/2}\left(1-\frac35\right)-\frac{6}{25}\sqrt{\frac35}=0.$$
Следовательно, уравнение имеет единственное решение:
$$x=\frac35.$$
Рассмотрим уравнение $$x-\frac{x^2}{2}=\ln(x+1).$$
Область определения: $$x>-1.$$
Перенесём всё в одну сторону и введём функцию
$$f(x)=x-\frac{x^2}{2}-\ln(x+1).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=1-x-\frac{1}{x+1}.$$
Приведём к общему виду:
$$f'(x)=\frac{(1-x)(x+1)-1}{x+1}=\frac{-x^2}{x+1}.$$
Так как $$x>-1,$$ то $$x+1>0,$$ значит $$f'(x)\le 0,$$ причём $$f'(x)=0$$ только при $$x=0.$$
Следовательно, функция не возрастает на $$(-1;+\infty)$$ и максимум достигается при $$x=0.$$
Проверим:
$$f(0)=0-\frac{0^2}{2}-\ln 1=0.$$
Значит, уравнение имеет единственное решение:
$$x=0.$$