Упр.13.3 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
13.3 а) e^(корень(1-x2)) + корень (x2-7x-8) > =-6;
б) пи^(корень(4-x2)) + корень (x2-x-6) > =6;
в) корень(x2-4x-5) + lg(1+корень (8x-2×2+10) < =-6;
г) корень(x2-x-6) + 10^(корень (4-x2) + 5lg(12+x) < =6.
а) Область определения задаётся системой
$$ \begin{cases} 1-x^2 \ge 0,\\ x^2-7x-8 \ge 0. \end{cases} $$
Решаем неравенства:
$$ 1-x^2 \ge 0 \;\Rightarrow\; x \in [-1;1], $$
$$ x^2-7x-8 \ge 0 \;\Rightarrow\; (x+1)(x-8)\ge 0 \;\Rightarrow\; x \in (-\infty;-1]\cup[8;+\infty). $$
Пересечение множеств:
$$ [-1;1]\cap\bigl((-\infty;-1]\cup[8;+\infty)\bigr)=\{-1\}. $$
Проверка:
$$ e^{\sqrt{1-(-1)^2}}+\sqrt{(-1)^2-7(-1)-8}=e^0+0=1\ge -6. $$
б) Область определения задаётся системой
$$ \begin{cases} 4-x^2 \ge 0,\\ x^2-x-6 \ge 0. \end{cases} $$
Решаем:
$$ 4-x^2 \ge 0 \;\Rightarrow\; x \in [-2;2], $$
$$ x^2-x-6 \ge 0 \;\Rightarrow\; (x+2)(x-3)\ge 0 \;\Rightarrow\; x \in (-\infty;-2]\cup[3;+\infty). $$
Пересечение:
$$ [-2;2]\cap\bigl((-\infty;-2]\cup[3;+\infty)\bigr)=\{-2\}. $$
Проверка:
$$ \pi^{\sqrt{4-(-2)^2}}+\sqrt{(-2)^2-(-2)-6}=\pi^0+0=1<6. $$
Значит, решений нет.
в) Область определения задаётся системой
$$ \begin{cases} x^2-4x-5 \ge 0,\\ 8x-2x^2+10 \ge 0,\\ 1+\sqrt{8x-2x^2+10} > 0. \end{cases} $$
Последнее неравенство выполняется автоматически при выполнении второго, так как $$\sqrt{8x-2x^2+10}\ge 0.$$
Имеем:
$$ x^2-4x-5 \ge 0 \;\Rightarrow\; (x-5)(x+1)\ge 0 \;\Rightarrow\; x \in (-\infty;-1]\cup[5;+\infty), $$
$$ 8x-2x^2+10 \ge 0 \;\Rightarrow\; x^2-4x-5 \le 0 \;\Rightarrow\; x \in [-1;5]. $$
Пересечение:
$$ (-\infty;-1]\cup[5;+\infty)\;\cap\;[-1;5]=\{-1,5\}. $$
Проверка:
$$ x=-1:\ \sqrt{0}+\lg 1=0\le -6 \quad \text{неверно}, $$
$$ x=5:\ \sqrt{0}+\lg 1=0\le -6 \quad \text{неверно}. $$
Следовательно, решений нет.
г) Область определения задаётся системой
$$ \begin{cases} x^2-x-6 \ge 0,\\ 4-x^2 \ge 0,\\ 12+x > 0. \end{cases} $$
Решаем:
$$ x^2-x-6 \ge 0 \;\Rightarrow\; (x-3)(x+2)\ge 0 \;\Rightarrow\; x \in (-\infty;-2]\cup[3;+\infty), $$
$$ 4-x^2 \ge 0 \;\Rightarrow\; x \in [-2;2], $$
$$ 12+x>0 \;\Rightarrow\; x>-12. $$
Пересечение:
$$ \bigl((-\infty;-2]\cup[3;+\infty)\bigr)\cap[-2;2]\cap(-12;+\infty)=\{-2\}. $$
Проверка:
$$ \sqrt{(-2)^2-(-2)-6}+10^{\sqrt{4-(-2)^2}}+5\lg(12+(-2))=0+10^0+5\lg 10=6. $$
Неравенство выполняется.
Ответ
а) $$-1$$; б) решений нет; в) решений нет; г) $$-2$$.
