Упр.13.29 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- а) $$\sqrt[4]{x^3-7}+\sqrt[3]{x^4-8}=3$$; б) $$\sqrt[5]{x^3+5}+\sqrt[3]{x^4-17}=6$$; в) $$\sqrt{x^3+8}+(8-x^3)=4$$; г) $$\sqrt[4]{x-1}+\sqrt[4]{3-x}=2$$.
а) Обозначим
$$f(x)=\sqrt[3]{x^4-8}, \qquad g(x)=3-\sqrt[4]{x^3-7}.$$
Функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает на общей области определения. Поэтому уравнение может иметь не более одного корня.
Проверим число $$2$$:
$$\sqrt[3]{2^4-8}=\sqrt[3]{8}=2,$$
$$3-\sqrt[4]{2^3-7}=3-\sqrt[4]{1}=2.$$
Значит, $$x=2$$ — корень уравнения, и он единственный.
б) Рассмотрим функции
$$f(x)=\sqrt[5]{x^3+5}, \qquad g(x)=6-\sqrt[3]{x^4-17}.$$
Обе функции возрастают на своей области определения, значит уравнение имеет не более одного корня.
Проверим число $$3$$:
$$\sqrt[5]{3^3+5}=\sqrt[5]{32}=2,$$
$$6-\sqrt[3]{3^4-17}=6-\sqrt[3]{64}=2.$$
Следовательно, $$x=3$$ — единственный корень.
в) Область определения:
$$x^3+8\ge 0, \qquad 8-x^3\ge 0,$$
откуда
$$-2\le x\le 2.$$
Положим
$$\sqrt{x^3+8}=a,\qquad \sqrt{8-x^3}=b,$$
где $$a\ge 0,\ b\ge 0.$$ Тогда
$$a+b=4.$$
Возведём в квадрат:
$$x^3+8=a^2,$$
$$8-x^3=b^2.$$
Сложим равенства:
$$16=a^2+b^2.$$
Получаем систему
$$\begin{cases} a+b=4,\\ a^2+b^2=16. \end{cases}$$
Из равенства $$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$ имеем
$$16=16-2ab,$$
значит, $$ab=0.$$ Тогда либо $$a=0,$$ либо $$b=0.$$
Если $$a=0,$$ то $$\sqrt{x^3+8}=0,$$ откуда $$x=-2.$$
Если $$b=0,$$ то $$\sqrt{8-x^3}=0,$$ откуда $$x=2.$$
Итак, решения: $$x=-2$$ и $$x=2.$$
г) Область определения:
$$x-1\ge 0,\qquad 3-x\ge 0,$$
то есть
$$1\le x\le 3.$$
Положим
$$\sqrt[4]{x-1}=a,\qquad \sqrt[4]{3-x}=b,$$
где $$a\ge 0,\ b\ge 0.$$ Тогда
$$a+b=2.$$
Возведём в четвёртую степень:
$$x-1=a^4,\qquad 3-x=b^4.$$
Сложим:
$$2=a^4+b^4.$$
Так как $$a+b=2,$$ то при неотрицательных $$a$$ и $$b$$ равенство $$a^4+b^4=2$$ возможно только при $$a=b=1.$$
Тогда
$$x-1=1,$$
откуда
$$x=2.$$
Ответ
а) $$2$$; б) $$3$$; в) $$-2,\ 2$$; г) $$2$$.
