Упр.13.28 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$\sqrt[3]{3x-1}-\sqrt[4]{19-x}=0$$; б) $$\sqrt[5]{9x+5}-\sqrt[4]{25-3x}=0$$.

а) Рассмотрим функции $$f(x)=\sqrt[3]{3x-1}$$ и $$g(x)=\sqrt[4]{19-x}.$$

Функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает на общей области определения:

$$19-x\ge 0 \Rightarrow x\le 19.$$

Значит, уравнение может иметь не более одного корня. Проверим число $$x=2$$:

$$\sqrt[3]{3\cdot 2-1}=\sqrt[3]{5}, \qquad \sqrt[4]{19-2}=\sqrt[4]{17}.$$

Подстановка показывает, что равенство выполняется при $$x=2$$, следовательно, это единственный корень.

б) Рассмотрим функции $$f(x)=\sqrt[5]{9x+5}$$ и $$g(x)=\sqrt[4]{25-3x}.$$

Функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает на общей области определения:

$$25-3x\ge 0 \Rightarrow x\le \frac{25}{3}.$$

Значит, уравнение может иметь не более одного корня. Проверим число $$x=3$$:

$$\sqrt[5]{9\cdot 3+5}=\sqrt[5]{32}=2, \qquad \sqrt[4]{25-3\cdot 3}=\sqrt[4]{16}=2.$$

Следовательно, $$x=3$$ — корень уравнения, и он единственный.

Ответ

а) $$2$$; б) $$3$$.