Упр.13.27 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- 13.27. Решите уравнение:
а) $$\log_{2}(x)=1-x$$;
б) $$\log_{3}(x)=4-x$$;
в) $$\log_{0,5}(x)=x-3$$;
г) $$\log_{0,3}(x)=x-1$$.
а) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_2 x$$ и $$g(x)=1-x.$$
На промежутке $$x>0$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает. Значит, уравнение может иметь не более одного корня.
Проверим число $$x=1$$:
$$\log_2 1=0,\qquad 1-1=0.$$
Следовательно, $$x=1$$ — корень уравнения, и он единственный.
б) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_3 x$$ и $$g(x)=4-x.$$
На промежутке $$x>0$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает. Значит, уравнение может иметь не более одного корня.
Проверим число $$x=3$$:
$$\log_3 3=1,\qquad 4-3=1.$$
Следовательно, $$x=3$$ — корень уравнения, и он единственный.
в) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_{0,5} x$$ и $$g(x)=x-3.$$
На промежутке $$x>0$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает. Значит, уравнение может иметь не более одного корня.
Проверим число $$x=2$$:
$$\log_{0,5} 2=-1,\qquad 2-3=-1.$$
Следовательно, $$x=2$$ — корень уравнения, и он единственный.
г) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_{0,3} x$$ и $$g(x)=x-1.$$
На промежутке $$x>0$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает. Значит, уравнение может иметь не более одного корня.
Проверим число $$x=1$$:
$$\log_{0,3} 1=0,\qquad 1-1=0.$$
Следовательно, $$x=1$$ — корень уравнения, и он единственный.
Ответ
а) $$1$$; б) $$3$$; в) $$2$$; г) $$1$$.
