Упр.13.26 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 13.26*
$$|\sin x|+\frac{1}{|\sin x|}\ge 2$$
Пусть $$t=|\sin x|>0$$. Тогда
$$t+\frac{1}{t}\ge 2,$$
и равенство достигается только при $$t=1$$. Значит,
$$|\sin x|=1.$$
Кроме того, из преобразования
$$2-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2\le 2$$
получаем
$$\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2=0,$$
откуда
$$x=-\frac{\pi}{2}.$$
Проверка: $$|\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)|=1,$$ значит, значение подходит.
$$|\cos x|+\frac{1}{|\cos x|}\ge 2$$
Пусть $$t=|\cos x|>0$$. Тогда
$$t+\frac{1}{t}\ge 2,$$
и равенство достигается только при $$t=1$$. Значит,
$$|\cos x|=1.$$
Из условия
$$2-\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2\le 2$$
получаем
$$\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2=0,$$
откуда
$$x=\frac{\pi}{2}.$$
Проверка: $$|\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)|=0,$$ поэтому это значение не подходит, так как выражение $$\frac{1}{|\cos x|}$$ не определено.
Следовательно, решений нет.
$$|\tg x|+\frac{1}{|\tg x|}\ge 2$$
Пусть $$t=|\tg x|>0$$. Тогда
$$t+\frac{1}{t}\ge 2,$$
и равенство достигается только при $$t=1$$. Значит,
$$|\tg x|=1.$$
Из условия
$$2-\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^2\le 2$$
получаем
$$\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^2=0,$$
откуда
$$x=\frac{\pi}{4}.$$
Проверка: $$|\tg\left(\frac{\pi}{4}\right)|=1,$$ значит, значение подходит.
$$|\ctg x|+\frac{1}{|\ctg x|}\ge 2$$
Пусть $$t=|\ctg x|>0$$. Тогда
$$t+\frac{1}{t}\ge 2,$$
и равенство достигается только при $$t=1$$. Значит,
$$|\ctg x|=1.$$
Из условия
$$2-\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^2\le 2$$
получаем
$$\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^2=0,$$
откуда
$$x=\frac{\pi}{4}.$$
Проверка: $$|\ctg\left(\frac{\pi}{4}\right)|=1,$$ значит, значение подходит.
Ответ
а) $$x=-\frac{\pi}{2}$$; б) решений нет; в) $$x=\frac{\pi}{4}$$; г) $$x=\frac{\pi}{4}$$.
