Упр.13.25 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 13.25

а) Рассмотрим неравенство:

$$\left(\sqrt[4]{\sin x+2}\right)^2+\left(\sqrt[4]{\cos x+2}\right)^2\le 2\sqrt[4]{(\sin x+2)(\cos x+2)}.$$

На множестве $$\mathbb{R}$$ оно равносильно неравенству

$$\left(\sqrt[4]{\sin x+2}-\sqrt[4]{\cos x+2}\right)^2\le 0.$$

Так как квадрат неотрицателен, то это возможно только при

$$\sqrt[4]{\sin x+2}-\sqrt[4]{\cos x+2}=0.$$

Отсюда

$$\sin x+2=\cos x+2,$$

то есть

$$\sin x=\cos x.$$

Следовательно,

$$\tg x=1,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

б) Рассмотрим неравенство:

$$\left(\sqrt[4]{\sin x+2}\right)^2+\left(\sqrt[4]{\cos x+3}\right)^2\le 2\sqrt[4]{(\sin x+2)(\cos x+3)}.$$

На множестве $$\mathbb{R}$$ оно равносильно неравенству

$$\left(\sqrt[4]{\sin x+2}-\sqrt[4]{\cos x+3}\right)^2\le 0.$$

Значит,

$$\sqrt[4]{\sin x+2}=\sqrt[4]{\cos x+3},$$

откуда

$$\sin x+2=\cos x+3,$$

то есть

$$\sin x-\cos x=1.$$

Преобразуем:

$$\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Тогда

$$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$

б) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z};\quad x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$