Упр.13.24 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 13.24*

а) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{x^2+x+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}\ge 2.$$

Обозначим $$t=\sqrt{x^2+x+1}$$, тогда $$t>0$$ и неравенство принимает вид

$$t+\frac{1}{t}\ge 2.$$

Это верно для всех $$t>0$$, причём равенство достигается при $$t=1$$. Значит, нужно решить

$$\sqrt{x^2+x+1}=1.$$

Тогда

$$x^2+x+1=1,$$

$$x^2+x=0,$$

$$x(x+1)=0.$$

Отсюда

$$x=0 \text{ или } x=-1.$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{x^2+3{,}5x+3{,}5}+\frac{1}{\sqrt{x^2+3{,}5x+3{,}5}}\ge 2.$$

Положим $$t=\sqrt{x^2+3{,}5x+3{,}5}$$, тогда $$t>0$$ и

$$t+\frac{1}{t}\ge 2.$$

Равенство возможно при $$t=1$$, то есть

$$\sqrt{x^2+3{,}5x+3{,}5}=1.$$

Возводим в квадрат:

$$x^2+3{,}5x+3{,}5=1,$$

$$x^2+3{,}5x+2{,}5=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=3{,}5^2-4\cdot 1\cdot 2{,}5=12{,}25-10=2{,}25,$$

$$x=\frac{-3{,}5\pm 1{,}5}{2}.$$

Получаем

$$x_1=-2{,}5,\quad x_2=-1.$$

Кроме того, по условию из второго множителя следует

$$\sin \pi x=0,$$

откуда

$$x=k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Из найденных корней этому условию удовлетворяет только $$x=-1$$.

Ответ

а) $$-1,\ 0$$

б) $$-1$$