Упр.13.23 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 13.23*

а) Пусть $$M$$ — общая область существования функций $$\tg^2 x$$, $$\ctg^2 x$$ и $$\sin^2\sqrt{\frac{5\pi^2}{16}-x^2}.$$

Тогда для каждого $$x \in M$$ по неравенству $$u+\frac{1}{u}\ge 2$$ при $$u>0$$ имеем

$$\tg^2 x+\frac{1}{\tg^2 x}\ge 2,$$

а также

$$2\sin^2\sqrt{\frac{5\pi^2}{16}-x^2}\le 2.$$

Равенство возможно тогда и только тогда, когда

$$ \begin{cases} \tg^2 x+\dfrac{1}{\tg^2 x}=2,\\[4pt] 2\sin^2\sqrt{\dfrac{5\pi^2}{16}-x^2}=2. \end{cases} $$

Отсюда

$$ \begin{cases} \tg x=1,\\[4pt] \sin^2\sqrt{\dfrac{5\pi^2}{16}-x^2}=1. \end{cases} $$

Первое уравнение даёт

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Второе уравнение равносильно

$$ \cos 2\sqrt{\frac{5\pi^2}{16}-x^2}=-1, $$

то есть

$$ 2\sqrt{\frac{5\pi^2}{16}-x^2}=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Тогда

$$ \sqrt{\frac{5\pi^2}{16}-x^2}=\frac{\pi}{2}+\pi n. $$

С учётом условия $$\sqrt{\frac{5\pi^2}{16}-x^2}\ge 0$$ получаем только $$n=0$$, значит

$$ \sqrt{\frac{5\pi^2}{16}-x^2}=\frac{\pi}{2}. $$

Отсюда

$$ \frac{5\pi^2}{16}-x^2=\frac{\pi^2}{4}, \qquad x^2=\frac{\pi^2}{16}, \qquad x=\pm\frac{\pi}{4}. $$

С учётом условия $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k$$ подходят только

$$x=\frac{\pi}{4}\quad \text{и}\quad x=-\frac{\pi}{4}.$$

б) Пусть $$M$$ — общая область существования функций $$\sin x$$, $$\cos 2x$$ и $$\cos^2\sqrt{\frac{\pi^2}{4}-x^2}.$$

Тогда для $$x\in M$$

$$ \frac{\cos^2 2x}{\sin^2 x}+\frac{1}{\dfrac{\cos^2 2x}{\sin^2 x}}\ge 2, $$

а значит

$$ 2\cos^2\sqrt{\frac{\pi^2}{4}-x^2}\le 2. $$

Равенство возможно тогда и только тогда, когда

$$ \begin{cases} \dfrac{\cos^2 2x}{\sin^2 x}=1,\\[6pt] \cos^2\sqrt{\dfrac{\pi^2}{4}-x^2}=1. \end{cases} $$

Из первого уравнения получаем

$$\cos^2 2x=\sin^2 x.$$

Так как $$\sin^2 x\ge 0$$, то

$$ \cos^2\sqrt{\frac{\pi^2}{4}-x^2}=1 \iff \cos\sqrt{\frac{\pi^2}{4}-x^2}=\pm 1. $$

Следовательно,

$$ \sqrt{\frac{\pi^2}{4}-x^2}=\pi n \quad \text{или} \quad \sqrt{\frac{\pi^2}{4}-x^2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Возможны только значения

$$ \sqrt{\frac{\pi^2}{4}-x^2}=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{\frac{\pi^2}{4}-x^2}=\frac{\pi}{2}. $$

Отсюда

$$x=\pm\frac{\pi}{2}\quad \text{или}\quad x=0.$$

Проверка в первом уравнении показывает, что подходят только

$$x=-\frac{\pi}{2}\quad \text{и}\quad x=\frac{\pi}{2}.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{4}.$$

б) $$x=-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}.$$