Упр.13.22 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 13.22

а) Используем неравенство $$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$$ при $$a>0,\ b>0$$. Тогда

$$\frac{\sqrt[4]{\sin^2 x+5}+\sqrt[4]{\cos^2 x+4}}{2}\ge \sqrt[4]{(\sin^2 x+5)(\cos^2 x+4)}.$$

Равенство возможно только при

$$\sqrt[4]{\sin^2 x+5}=\sqrt[4]{\cos^2 x+4}.$$

Отсюда

$$\sin^2 x+5=\cos^2 x+4,$$

$$\sin^2 x-\cos^2 x=-1,$$

$$\cos 2x=1.$$

Следовательно,

$$2x=2\pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$

$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

б) Аналогично получаем

$$\frac{\sqrt[4]{\sin^2 x+\sin x+5}+\sqrt[4]{\sin x+6}}{2}\ge \sqrt[4]{(\sin^2 x+\sin x+5)(\sin x+6)}.$$

Равенство достигается при

$$\sqrt[4]{\sin^2 x+\sin x+5}=\sqrt[4]{\sin x+6}.$$

Тогда

$$\sin^2 x+\sin x+5=\sin x+6,$$

$$\sin^2 x=1.$$

Значит,

$$\sin x=\pm 1,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

в) Пусть $$t=\log_2^2 x$$. Тогда уравнение сводится к

$$\sqrt[4]{3t+5}+\sqrt[4]{t^2+1}=2\sqrt[4]{(3t+5)(t^2+1)}.$$

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим равенство возможно только при

$$3t+5=t^2+1.$$

Получаем

$$t^2-3t-4=0,$$

$$t=4 \quad \text{или} \quad t=-1.$$

Так как $$t=\log_2^2 x\ge 0,$$ то подходит только $$t=4$$. Тогда

$$\log_2^2 x=4,$$

$$\log_2 x=\pm 2,$$

$$x=4 \quad \text{или} \quad x=\frac14.$$

г) Обозначим $$t=\lg^2 x$$. Тогда уравнение принимает вид

$$\sqrt[4]{2-\frac12 t}+\sqrt[4]{t^2+\frac12}=2\sqrt[4]{\left(2-\frac12 t\right)\left(t^2+\frac12\right)}.$$

По тому же рассуждению равенство возможно при

$$2-\frac12 t=t^2+\frac12.$$

Тогда

$$2t^2+t-3=0,$$

$$t=1 \quad \text{или} \quad t=-\frac32.$$

Так как $$t=\lg^2 x\ge 0,$$ то остаётся $$t=1$$. Следовательно,

$$\lg^2 x=1,$$

$$\lg x=\pm 1,$$

$$x=10 \quad \text{или} \quad x=\frac{1}{10}.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\ n\in \mathbb Z$$;

б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb Z$$;

в) $$x=4,\ \frac14$$;

г) $$x=10,\ \frac{1}{10}$$.