Упр.13.21 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

13.21

1. а)

   $$\left(\frac{2}{3}\right)^x+\left(\frac{3}{2}\right)^x\ge 2.$$
   Обозначим
   $$t=\left(\frac{2}{3}\right)^x>0,$$
   тогда
   $$\left(\frac{3}{2}\right)^x=\frac{1}{t}.$$
   Получаем
   $$t+\frac{1}{t}\ge 2.$$
   Равенство достигается при $$t=1,$$ то есть
   $$\left(\frac{2}{3}\right)^x=1 \Rightarrow x=0.$$
   Проверка по условию даёт подходящее значение.

2. б)

   $$(\log_2 3)^x+\left(\frac{1}{\log_2 3}\right)^x\ge 2.$$
   Обозначим
   $$t=(\log_2 3)^x>0,$$
   тогда
   $$\left(\frac{1}{\log_2 3}\right)^x=\frac{1}{t}.$$
   Имеем
   $$t+\frac{1}{t}\ge 2,$$
   причём равенство при $$t=1,$$ то есть
   $$(\log_2 3)^x=1 \Rightarrow x=0.$$

3. в)

   $$\left(\frac{4}{3}\right)^{x-1}+\frac{1}{\left(\frac{4}{3}\right)^{x-1}}\ge 2.$$
   Пусть
   $$t=\left(\frac{4}{3}\right)^{x-1}>0.$$
   Тогда
   $$t+\frac{1}{t}\ge 2,$$
   и равенство достигается при $$t=1,$$ значит
   $$\left(\frac{4}{3}\right)^{x-1}=1 \Rightarrow x-1=0 \Rightarrow x=1.$$

4. г)

   $$\left(\frac{4}{5}\right)^{x+1}+\frac{1}{\left(\frac{4}{5}\right)^{x+1}}\ge 2.$$
   Обозначим
   $$t=\left(\frac{4}{5}\right)^{x+1}>0.$$
   Тогда
   $$t+\frac{1}{t}\ge 2,$$
   равенство при $$t=1,$$ то есть
   $$\left(\frac{4}{5}\right)^{x+1}=1 \Rightarrow x+1=0 \Rightarrow x=-1.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$0$$; в) $$1$$; г) $$-1$$.