Упр.13.20 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- а) $$\log_{0,2}(-x^2+6x-8)\leq -9+6x-x^2$$;
б) $$3\cos^2 x\geq 3+\left|\log_5(x^2-4x+1)\right|$$.
а) Решим неравенство
$$\log_{0,2}(-x^2+6x-8)\le -(3-x)^2.$$
Область определения задаётся условием
$$-x^2+6x-8>0,$$
откуда
$$x^2-6x+8<0,$$
$$(x-2)(x-4)<0,$$
$$x\in(2;4).$$
Так как основание логарифма $$0,2<1,$$ то
$$\log_{0,2}(-x^2+6x-8)\ge 0$$
тогда, чтобы выполнялось неравенство $$\log_{0,2}(-x^2+6x-8)\le -(3-x)^2,$$ нужно, чтобы правая часть была неотрицательной. Но
$$-(3-x)^2\le 0.$$
Следовательно, возможно только равенство
$$\log_{0,2}(-x^2+6x-8)=0,$$
$$-(3-x)^2=0.$$
Из второго уравнения получаем
$$x=3.$$
Проверим:
$$\log_{0,2}(-3^2+6\cdot 3-8)=\log_{0,2}1=0,$$
$$-(3-3)^2=0.$$
Равенство верно, значит $$x=3$$ — решение.
б) Решим неравенство
$$3\cos^2x\ge 3+\left|\log_5(x^2-4x+1)\right|.$$
Так как $$0\le \cos^2x\le 1,$$ то
$$0\le 3\cos^2x\le 3.$$
Правая часть не меньше $$3,$$ поскольку
$$3+\left|\log_5(x^2-4x+1)\right|\ge 3.$$
Значит, неравенство возможно только при
$$3\cos^2x=3+\left|\log_5(x^2-4x+1)\right|=3.$$
Отсюда
$$\cos^2x=1,$$
$$\left|\log_5(x^2-4x+1)\right|=0,$$
то есть
$$\log_5(x^2-4x+1)=0.$$
Тогда
$$x^2-4x+1=1,$$
$$x^2-4x=0,$$
$$x(x-4)=0,$$
$$x=0 \text{ или } x=4.$$
Проверим условие $$\cos^2x=1.$$
При $$x=0$$ имеем $$\cos^2 0=1,$$ а при $$x=4$$ это условие не выполняется.
Следовательно, подходит только $$x=0.$$
Ответ
а) $$3$$; б) $$0$$.
