Упр.13.20 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) 3cos^2x > = 3 + |log5(x2 — 4x + 1)|.

а) Решим неравенство

$$\log_{0,2}(-x^2+6x-8)\le -(3-x)^2.$$

Область определения задаётся условием

$$-x^2+6x-8>0,$$

откуда

$$x^2-6x+8<0,$$

$$ (x-2)(x-4)<0,$$

$$x\in(2;4).$$

Так как основание логарифма $$0,2<1,$$ то

$$\log_{0,2}(-x^2+6x-8)\ge 0$$

тогда, чтобы выполнялось неравенство $$\log_{0,2}(-x^2+6x-8)\le -(3-x)^2,$$ нужно, чтобы правая часть была неотрицательной. Но

$$-(3-x)^2\le 0.$$

Следовательно, возможно только равенство

$$\log_{0,2}(-x^2+6x-8)=0,$$

$$-(3-x)^2=0.$$

Из второго уравнения получаем

$$x=3.$$

Проверим:

$$\log_{0,2}(-3^2+6\cdot 3-8)=\log_{0,2}1=0,$$

$$-(3-3)^2=0.$$

Равенство верно, значит $$x=3$$ — решение.

б) Решим неравенство

$$3\cos^2x\ge 3+\left|\log_5(x^2-4x+1)\right|.$$

Так как $$0\le \cos^2x\le 1,$$ то

$$0\le 3\cos^2x\le 3.$$

Правая часть не меньше $$3,$$ поскольку

$$3+\left|\log_5(x^2-4x+1)\right|\ge 3.$$

Значит, неравенство возможно только при

$$3\cos^2x=3+\left|\log_5(x^2-4x+1)\right|=3.$$

Отсюда

$$\cos^2x=1,$$

$$\left|\log_5(x^2-4x+1)\right|=0,$$

то есть

$$\log_5(x^2-4x+1)=0.$$

Тогда

$$x^2-4x+1=1,$$

$$x^2-4x=0,$$

$$x(x-4)=0,$$

$$x=0 \text{ или } x=4.$$

Проверим условие $$\cos^2x=1.$$

При $$x=0$$ имеем $$\cos^2 0=1,$$ а при $$x=4$$ это условие не выполняется.

Следовательно, подходит только $$x=0.$$

Ответ

а) $$3$$; б) $$0$$.