Упр.13.13 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

13.13 a) lg(x2 + 1) + 1 = cosпиx;
б) lg (1 + |х — 2|) + 2 = |1 + cosпиx|;
в) 3 — lg(x2 — 10х + 26) = корень (x2-10+34);
г) 2 — lg(1 + |х — 6|) = корень (х2 — 12х + 40).

1. а)

   $$\lg(x^2+1)+1=\cos \pi x$$

   Так как $$\lg(x^2+1)\ge 0$$ и $$\cos \pi x-1\le 0,$$ то уравнение равносильно системе:

   $$ \begin{cases} \lg(x^2+1)=0,\\ \cos \pi x-1=0. \end{cases} $$

   Из первого уравнения получаем $$x^2+1=1,$$ значит $$x=0.$$ Проверка:

   $$\cos 0-1=0.$$

2. б)

   $$\lg(1+|x-2|)+2=|1+\cos \pi x|$$

   Так как $$\lg(1+|x-2|)\ge 0$$ и $$|1+\cos \pi x|-2\le 0,$$ то уравнение равносильно системе:

   $$ \begin{cases} \lg(1+|x-2|)=0,\\ |1+\cos \pi x|-2=0. \end{cases} $$

   Из первого уравнения:
   $$1+|x-2|=1,$$
   откуда $$x=2.$$ Проверка:

   $$|1+\cos 2\pi|-2=0.$$

3. в)

   $$3-\lg\bigl((x-5)^2+1\bigr)=\sqrt{(x-5)^2+9}$$

   Так как $$\lg\bigl((x-5)^2+1\bigr)\ge 0,$$ то левая часть не больше $$3,$$ а правая часть не меньше $$3.$$ Следовательно, уравнение возможно только при

   $$ \begin{cases} 3-\lg\bigl((x-5)^2+1\bigr)=3,\\ \sqrt{(x-5)^2+9}=3. \end{cases} $$

   Из второго уравнения:
   $$ (x-5)^2=0,$$
   значит $$x=5.$$ Проверка показывает, что это значение подходит.

4. г)

   $$2-\lg(1+|x-6|)=\sqrt{(x-5)^2+9}$$

   Так как $$\lg(1+|x-6|)\ge 0,$$ то левая часть не больше $$2,$$ а правая часть не меньше $$2.$$ Значит, уравнение возможно только при

   $$ \begin{cases} 2-\lg(1+|x-6|)=2,\\ \sqrt{(x-5)^2+9}=2. \end{cases} $$

   Из первого уравнения:
   $$\lg(1+|x-6|)=0,$$
   откуда
   $$1+|x-6|=1,$$
   значит $$x=6.$$ Проверка:

   $$2-\lg 1=2.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$2$$; в) $$5$$; г) $$6$$.