Упр.13.2 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$5^{\sqrt{16-x^2}}+3=\lg\left(1+\sqrt{x^2-16}\right)+x$$;
б) $$9^{\sqrt{1-x^2}}-2=\lg\left(1+\sqrt{x^2-1}\right)+x$$;
в) $$\sqrt[4]{x^3+8}+\sqrt[4]{x^3-8}=2$$;
г) $$\sqrt[6]{x^5-32}+\sqrt[6]{x^5+32}=2$$.

1. а) Область допустимых значений задаётся системой

   $$\begin{cases} 16-x^2 \ge 0,\\ x^2-16 \ge 0. \end{cases}$$

   Отсюда

   $$x \in [-4;4], \qquad x \in (-\infty;-4] \cup [4;+\infty).$$

   Пересечение этих множеств:

   $$x=-4,\;4.$$

   Проверим:

   при $$x=-4$$ получаем неверное равенство, а при $$x=4$$ уравнение выполняется.

2. б) Область допустимых значений задаётся системой

   $$\begin{cases} 1-x^2 \ge 0,\\ x^2-1 \ge 0. \end{cases}$$

   Отсюда

   $$x \in [-1;1], \qquad x \in (-\infty;-1] \cup [1;+\infty).$$

   Пересечение:

   $$x=-1,\;1.$$

   Проверка показывает, что подходит только $$x=-1$$.

3. в) Область допустимых значений:

   $$\begin{cases} x^3+8 \ge 0,\\ x^3-8 \ge 0. \end{cases}$$

   Отсюда $$x \ge 2$$.

   При $$x>2$$ левая часть больше $$2$$, значит равенство возможно только при $$x=2$$.

   Проверка:

   $$\sqrt[3]{8+8}+\sqrt[3]{8-8}=2.$$

4. г) Область допустимых значений:

   $$\begin{cases} x^5-32 \ge 0,\\ x^5+32 \ge 0. \end{cases}$$

   Отсюда $$x \ge 2$$.

   При $$x>2$$ левая часть больше $$2$$, значит равенство возможно только при $$x=2$$.

   Проверка:

   $$\sqrt[6]{32-32}+\sqrt[6]{32+32}=2.$$

Ответ

а) $$4$$; б) $$-1$$; в) $$2$$; г) $$2$$.