Упр.13.18 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
13.18 а) x2 — пиx + пи2/4 < =3sinx-3;
б) -x2+2пиx - пи2 > =2cosx + 2;
в) log2(x2+4x+5) < =-4-4x-x2;
г) log0,6(x2-6x+10) > =x2-6x+9.
а) $$x^2-\pi x+\frac{\pi^2}{4}\le 3\sin x-3$$
Преобразуем левую часть:
$$\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2\le 3(\sin x-1).$$
Но $$\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2\ge 0,$$ а $$3(\sin x-1)\le 0.$$
Следовательно, неравенство возможно только при равенстве обеих частей нулю:
$$\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2=0,\qquad \sin x-1=0.$$
Отсюда $$x=\frac{\pi}{2},$$ и это значение подходит.
б) $$-x^2+2\pi x-\pi^2\ge 2\cos x+2$$
Преобразуем левую часть:
$$-(x-\pi)^2\ge 2(\cos x+1).$$
Так как $$-(x-\pi)^2\le 0$$ и $$2(\cos x+1)\ge 0,$$ то неравенство возможно только при
$$-(x-\pi)^2=0,\qquad 2(\cos x+1)=0.$$
Получаем $$x=\pi,$$ и это значение подходит.
в) $$\log_2(x^2+4x+5)\le -4-4x-x^2$$
Заметим, что
$$x^2+4x+5=(x+2)^2+1>0,$$
а правая часть равна
$$-4-4x-x^2=-(x+2)^2.$$
Тогда неравенство можно записать так:
$$\log_2\big((x+2)^2+1\big)\le -(x+2)^2.$$
Но $$\log_2\big((x+2)^2+1\big)\ge 0,$$ а $$-(x+2)^2\le 0.$$
Значит, равенство возможно только при
$$\log_2\big((x+2)^2+1\big)=0,\qquad (x+2)^2=0.$$
Отсюда $$x=-2.$$
г) $$\log_{0,6}(x^2-6x+10)\ge x^2-6x+9$$
Преобразуем выражения:
$$x^2-6x+10=(x-3)^2+1,\qquad x^2-6x+9=(x-3)^2.$$
Тогда
$$\log_{0,6}\big((x-3)^2+1\big)\ge (x-3)^2.$$
Так как основание $$0,6<1,$$ функция $$\log_{0,6} t$$ убывает, а при $$t=(x-3)^2+1\ge 1$$ левая часть не положительна, тогда как правая часть неотрицательна. Равенство возможно только при
$$\log_{0,6}\big((x-3)^2+1\big)=0,\qquad (x-3)^2=0.$$
Отсюда $$x=3.$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{2}$$; б) $$x=\pi$$; в) $$x=-2$$; г) $$x=3$$.
