Упр.13.17 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$2\cos^2\left(x\sin\pi x\right)=2+\left|\log_2\left(x^2-4x+1\right)\right|$$
б) $$3\sin^2\left(\frac{\pi x}{2}\sin\frac{\pi x}{2}\right)=3+\log_3\left(x^2-6x+10\right)$$

Подробный ответ

а) Обе части уравнения определены при $$x^2-4x+1>0.$$ Кроме того,

$$0\le 2\cos^2(x\sin \pi x)\le 2,$$

$$2+|\log_2(x^2-4x+1)|\ge 2.$$

Значит, уравнение равносильно системе

$$\begin{cases} 2\cos^2(x\sin \pi x)=2,\\ 2+|\log_2(x^2-4x+1)|=2. \end{cases}$$

Отсюда

$$\begin{cases} \cos^2(x\sin \pi x)=1,\\ \log_2(x^2-4x+1)=0. \end{cases}$$

Из второго уравнения получаем

$$x^2-4x+1=1,$$

$$x^2-4x=0,$$

$$x(x-4)=0,$$

$$x=0 \text{ или } x=4.$$

Проверим:

при $$x=0$$ имеем $$\cos^2(0)=1,$$ значит, подходит;

при $$x=4$$ получаем $$\cos^2(4\sin 4\pi)=\cos^2 0=1,$$ но здесь нужно учитывать, что в исходном уравнении правая часть равна $$2+|\log_2(1)|=2,$$ а левая тоже равна $$2,$$ однако из условия определения логарифма следует $$x^2-4x+1>0,$$ что выполняется. Следовательно, подходит и $$x=4.$$

Но из равенства $$\cos^2(x\sin \pi x)=1$$ следует, что $$x\sin \pi x=\pi k,$$ $$k\in \mathbb Z.$$ Для $$x=4$$ это верно, так как $$4\sin 4\pi=0.$$ Значит, оба корня подходят.

б) Аналогично, обе части уравнения определены при всех $$x\in \mathbb R,$$ так как

$$3\sin^2\!\left(\frac{\pi x}{2}\sin\frac{\pi x}{2}\right)\in[0,3],$$

$$3+\log_3\bigl((x-3)^2+1\bigr)\ge 3.$$

Следовательно, уравнение равносильно системе

$$\begin{cases} 3\sin^2\!\left(\frac{\pi x}{2}\sin\frac{\pi x}{2}\right)=3,\\ 3+\log_3\bigl((x-3)^2+1\bigr)=3. \end{cases}$$

То есть

$$\begin{cases} \sin^2\!\left(\frac{\pi x}{2}\sin\frac{\pi x}{2}\right)=1,\\ \log_3\bigl((x-3)^2+1\bigr)=0. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$(x-3)^2+1=1,$$

$$(x-3)^2=0,$$

$$x=3.$$

Проверка: