Упр.13.16 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) |lg (x — 2)| + 1 = -cos пиx;
в) |lg (x — 5)| + 2 = корень (4 — (x — 6)2);
г) |lg(x-4)| + 3 = корень (9-(x-5)2).

Подробный ответ

а) $$|\lg(x-3)|+2=|\cos \pi x+1|$$
Перенесём число $$2$$ вправо:
$$|\lg(x-3)|=|\cos \pi x+1|-2$$
Левая часть неотрицательна, значит и правая должна быть неотрицательной. Это возможно только при
$$|\lg(x-3)|=0,\qquad |\cos \pi x+1|-2=0.$$
Из первого уравнения:
$$\lg(x-3)=0 \Rightarrow x-3=1 \Rightarrow x=4.$$
Проверка:
$$|\lg(4-3)|+2=| \cos 4\pi+1|$$
$$0+2=|1+1|=2.$$
Равенство верно.
б) $$|\lg(x-2)|+1=-\cos \pi x$$
Перенесём число $$1$$ вправо:
$$|\lg(x-2)|=-\cos \pi x-1.$$
Так как левая часть неотрицательна, то правая тоже должна быть неотрицательной. Следовательно,
$$|\lg(x-2)|=0,\qquad -\cos \pi x-1=0.$$
Из первого уравнения:
$$\lg(x-2)=0 \Rightarrow x-2=1 \Rightarrow x=3.$$
Проверка:
$$|\lg(3-2)|+1=-\cos 3\pi$$
$$0+1=-(-1)=1.$$
Равенство верно.
в) $$|\lg(x-5)|+2=\sqrt{4-(x-6)^2}$$
Перенесём число $$2$$ вправо:
$$|\lg(x-5)|=\sqrt{4-(x-6)^2}-2.$$
Левая часть неотрицательна, значит
$$\sqrt{4-(x-6)^2}-2\ge 0.$$
Но при этом для равенства необходимо, чтобы обе части были равны нулю:
$$\lg(x-5)=0,\qquad \sqrt{4-(x-6)^2}-2=0.$$
Из первого уравнения:
$$x-5=1 \Rightarrow x=6.$$
Проверка:
$$|\lg(6-5)|+2=\sqrt{4-(6-6)^2}$$
$$0+2=\sqrt{4}=2.$$
Равенство верно.
г) $$|\lg(x-4)|+3=\sqrt{9-(x-5)^2}$$
Перенесём число $$3$$ вправо:
$$|\lg(x-4)|=\sqrt{9-(x-5)^2}-3.$$
Левая часть неотрицательна, значит
$$\sqrt{9-(x-5)^2}-3\ge 0.$$
Следовательно, нужно, чтобы
$$|\lg(x-4)|=0,\qquad \sqrt{9-(x-5)^2}-3=0.$$
Из первого уравнения:
$$\lg(x-4)=0 \Rightarrow x-4=1 \Rightarrow x=5.$$
Проверка:
$$|\lg(5-4)|+3=\sqrt{9-(5-5)^2}$$
$$0+3=\sqrt{9}=3.$$
Равенство верно.