Упр.13.15 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) 3 sin2 (пиx/2 * sin пих/2) = 3 + log3(x2 — 6x + 10).

а) Рассмотрим уравнение

$$2\cos^2(x\sin \pi x)=2+\log_2(x^2-4x+5).$$

Так как $$0\le 2\cos^2(x\sin \pi x)\le 2,$$ а

$$x^2-4x+5=(x-2)^2+1\ge 1,$$

то

$$\log_2\bigl((x-2)^2+1\bigr)\ge 0,$$

следовательно, правая часть не меньше $$2$$. Чтобы равенство было возможно, нужно

$$2\cos^2(x\sin \pi x)=2,$$

$$2+\log_2\bigl((x-2)^2+1\bigr)=2.$$

Отсюда

$$\cos^2(x\sin \pi x)=1,$$

$$\log_2\bigl((x-2)^2+1\bigr)=0.$$

Из второго уравнения получаем

$$ (x-2)^2+1=1,$$

$$x=2.$$

Проверка:

$$\cos^2(2\sin 2\pi)=\cos^2 0=1,$$

значит, $$x=2$$ — корень уравнения.

б) Рассмотрим уравнение

$$3\sin^2\left(\frac{\pi x}{2}\sin\frac{\pi x}{2}\right)=3+\log_3(x^2-6x+10).$$

Так как $$0\le 3\sin^2\left(\frac{\pi x}{2}\sin\frac{\pi x}{2}\right)\le 3,$$ а

$$x^2-6x+10=(x-3)^2+1\ge 1,$$

то

$$\log_3\bigl((x-3)^2+1\bigr)\ge 0,$$

следовательно, правая часть не меньше $$3$$. Значит, равенство возможно только при

$$3\sin^2\left(\frac{\pi x}{2}\sin\frac{\pi x}{2}\right)=3,$$

$$3+\log_3\bigl((x-3)^2+1\bigr)=3.$$

Тогда

$$\sin^2\left(\frac{\pi x}{2}\sin\frac{\pi x}{2}\right)=1,$$

$$\log_3\bigl((x-3)^2+1\bigr)=0.$$

Из второго уравнения получаем

$$ (x-3)^2+1=1,$$

$$x=3.$$

Проверка:

$$\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}\sin\frac{3\pi}{2}\right)=\sin^2\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=1,$$

значит, $$x=3$$ — корень уравнения.

Ответ

а) $$2$$; б) $$3$$.