Упр.13.14 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) x2- 4пиx + 4пи2 = cosx -1;
в) x2+ 2пиx + пи2 = sinx -1;
г) x2- 2пиx + пи2 = cosx -1.

Подробный ответ

а) Перепишем уравнение в виде
$$\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2=\sin x-1.$$
Левая часть неотрицательна при всех $$x\in\mathbb R$$, а правая часть не положительна, так как $$\sin x-1\le 0.$$
Значит, равенство возможно только при
$$\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2=0,\qquad \sin x-1=0.$$
Из первого уравнения получаем $$x=\frac{\pi}{2}.$$ Проверка: $$\sin\frac{\pi}{2}-1=1-1=0.$$
Следовательно, $$x=\frac{\pi}{2}.$$
б) Имеем
$$x^2-4\pi x+4\pi^2=(x-2\pi)^2,$$
поэтому
$$\left(x-2\pi\right)^2=\cos x-1.$$
Так как $$\left(x-2\pi\right)^2\ge 0$$ и $$\cos x-1\le 0,$$ то равенство возможно только при
$$\left(x-2\pi\right)^2=0,\qquad \cos x-1=0.$$
Отсюда $$x=2\pi.$$ Проверка: $$\cos 2\pi-1=1-1=0.$$
Следовательно, $$x=2\pi.$$
в) Получаем
$$x^2+2\pi x+\pi^2=(x+\pi)^2,$$
значит
$$\left(x+\pi\right)^2=\sin x-1.$$
Левая часть неотрицательна, правая не положительна. Поэтому необходимо, чтобы
$$\left(x+\pi\right)^2=0,\qquad \sin x-1=0.$$
Из первого уравнения $$x=-\pi.$$ Но тогда
$$\sin(-\pi)-1=0-1\ne 0.$$
Следовательно, решений нет.
г) Имеем
$$x^2-2\pi x+\pi^2=(x-\pi)^2,$$
поэтому
$$\left(x-\pi\right)^2=\cos x-1.$$
Как и выше, левая часть неотрицательна, а правая не положительна. Значит, нужно, чтобы
$$\left(x-\pi\right)^2=0,\qquad \cos x-1=0.$$
Из первого уравнения $$x=\pi.$$ Проверка:
$$\cos\pi-1=-1-1\ne 0.$$
Следовательно, решений нет.