Упр.13.11 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) корень (х2 — 6х + 8) + lg(x2 — 8х + 17) < = 0.

а) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{x^2-8x+15}+\lg(x^2-10x+26)\le 0.$$

На области определения обе функции неотрицательны:

$$\sqrt{x^2-8x+15}\ge 0,$$

$$\lg(x^2-10x+26)=\lg\bigl((x-5)^2+1\bigr)\ge 0,$$

так как $$\bigl(x-5\bigr)^2+1\ge 1.$$

Сумма двух неотрицательных выражений не может быть меньше или равна нулю, если оба они не равны нулю. Значит, нужно решить систему:

$$ \begin{cases} \sqrt{x^2-8x+15}=0,\\ \lg(x^2-10x+26)=0. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$x^2-8x+15=0,$$

$$ (x-3)(x-5)=0,$$

$$x=3 \text{ или } x=5.$$

Из второго уравнения:

$$x^2-10x+26=1,$$

$$x^2-10x+25=0,$$

$$ (x-5)^2=0,$$

$$x=5.$$

Общее решение системы: $$x=5.$$

Проверка: при $$x=5$$ имеем

$$\sqrt{25-40+15}+\lg(25-50+26)=0+\lg 1=0.$$

Значит, $$x=5$$ подходит.

б) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{x^2-6x+8}+\lg(x^2-8x+17)\le 0.$$

На области определения:

$$\sqrt{x^2-6x+8}\ge 0,$$

$$\lg(x^2-8x+17)=\lg\bigl((x-4)^2+1\bigr)\ge 0,$$

так как $$\bigl(x-4\bigr)^2+1\ge 1.$$

Следовательно, сумма может быть равна нулю только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

$$ \begin{cases} \sqrt{x^2-6x+8}=0,\\ \lg(x^2-8x+17)=0. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$x^2-6x+8=0,$$

$$ (x-2)(x-4)=0,$$

$$x=2 \text{ или } x=4.$$

Из второго уравнения:

$$x^2-8x+17=1,$$

$$x^2-8x+16=0,$$

$$ (x-4)^2=0,$$

$$x=4.$$

Общее решение системы: $$x=4.$$

Проверка: при $$x=4$$

$$\sqrt{16-24+8}+\lg(16-32+17)=0+\lg 1=0.$$

Значит, $$x=4$$ подходит.

Ответ

а) $$5$$; б) $$4$$.