Упр.13.10 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

13.10 а) (х2 + 4х — 21)2 + lg (x2 — 6x + 10) < = 0; б) (х2 -3х- 4)2 + lg (x2 - 8x + 17) < 0 0.

а) Перепишем неравенство в виде

$$ (x^2+4x-21)^2+\lg(x^2-6x+10)\le 0. $$

Заметим, что

$$ x^2-6x+10=(x-3)^2+1>0 $$

при любом $x$, а значит логарифм определён. Кроме того,

$$ (x^2+4x-21)^2\ge 0,\qquad \lg\big((x-3)^2+1\big)\ge 0, $$

так как $(x-3)^2+1\ge 1$.

Сумма двух неотрицательных выражений не превосходит нуля только тогда, когда каждое из них равно нулю. Получаем систему:

$$ \begin{cases} x^2+4x-21=0,\\ \lg(x^2-6x+10)=0. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$ x^2-6x+10=1, $$

то есть

$$ x^2-6x+9=0,\qquad (x-3)^2=0,\qquad x=3. $$

Проверим первое уравнение:

$$ 3^2+4\cdot 3-21=9+12-21=0. $$

Значит, $x=3$ подходит.

б) Аналогично:

$$ (x^2-3x-4)^2+\lg(x^2-8x+17)<0. $$

Но

$$ x^2-8x+17=(x-4)^2+1>0, $$

и

$$ (x^2-3x-4)^2\ge 0,\qquad \lg\big((x-4)^2+1\big)\ge 0. $$

Следовательно, левая часть не может быть отрицательной. Значит, решений нет.

Ответ

а) $$x=3$$

б) $$\varnothing$$