Упр.13.1 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. 13.1. Решите уравнение:
   а) $$5\sqrt{-x^2+9x-14}-2\sqrt[4]{x^2-5x-14}-1=\sin\frac{\pi x}{2};$$
   б) $$3\sqrt{-x^2+11x-30}-4\sqrt[4]{x^2-7x+6}=\sin\pi x;$$
   в) $$2001\sqrt[4]{x^2-9}+2002\sqrt{9-x^2}=\cos\frac{\pi x}{2};$$
   г) $$2003\sqrt[4]{x^2-4}+2004\sqrt{4-x^2}=\operatorname{tg}\frac{\pi x}{2}.$$

а) Область определения задаётся системой неравенств:

$$\begin{cases} -x^2+9x-14\ge 0,\\ x^2-5x-14\ge 0. \end{cases}$$

Решим их:

$$-x^2+9x-14=(7-x)(x-2)\ge 0 \Rightarrow x\in[2;7],$$

$$x^2-5x-14=(x-7)(x+2)\ge 0 \Rightarrow x\in(-\infty;-2]\cup[7;+\infty).$$

Пересечение этих множеств:

$$x=7.$$

Проверка:

$$5\sqrt{-7^2+9\cdot 7-14}-2\sqrt[4]{7^2-5\cdot 7-14}-1=\sin\frac{7\pi}{2},$$

$$5\cdot 0-2\cdot 0-1=-1,\qquad \sin\frac{7\pi}{2}=-1.$$

Значит, $$x=7$$.

б) Область определения:

$$\begin{cases} -x^2+11x-30\ge 0,\\ x^2-7x+6\ge 0. \end{cases}$$

Имеем:

$$-x^2+11x-30=(6-x)(x-5)\ge 0 \Rightarrow x\in[5;6],$$

$$x^2-7x+6=(x-1)(x-6)\ge 0 \Rightarrow x\in(-\infty;1]\cup[6;+\infty).$$

Пересечение:

$$x=6.$$

Проверка:

$$3\sqrt{-6^2+11\cdot 6-30}-4\sqrt[4]{6^2-7\cdot 6+6}=\sin 6\pi,$$

$$3\cdot 0-4\cdot 0=0,\qquad \sin 6\pi=0.$$

Значит, $$x=6$$.

в) Область определения:

$$\begin{cases} x^2-9\ge 0,\\ 9-x^2\ge 0. \end{cases}$$

Отсюда:

$$x\in(-\infty;-3]\cup[3;+\infty),$$

$$x\in[-3;3].$$

Пересечение:

$$x=-3,\;3.$$

Проверка:

$$2001\sqrt[4]{x^2-9}+2002\sqrt{9-x^2}=\cos\frac{\pi x}{2},$$

при $$x=\pm 3$$ левая часть равна $$0$$, а правая:

$$\cos\frac{\pm 3\pi}{2}=0.$$

Значит, $$x=-3,\;3$$.

г) Область определения:

$$\begin{cases} x^2-4\ge 0,\\ 4-x^2\le 0. \end{cases}$$

Обе записи равносильны одному условию:

$$x\in(-\infty;-2]\cup[2;+\infty).$$

Но для существования обеих корней одновременно нужно:

$$x^2-4\ge 0 \quad \text{и} \quad 4-x^2\ge 0,$$

то есть

$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2.$$

Проверка:

$$2003\sqrt[4]{x^2-4}+2004\sqrt{4-x^2}=\tg\frac{\pi x}{2}.$$

При $$x=\pm 2$$ левая часть равна $$0$$, а правая не определена, так как

$$\tg\frac{\pi(\pm 2)}{2}=\tg(\pm \pi)=0.$$

Следовательно, подходят оба значения:

$$x=-2,\;2.$$

Ответ

а) $$7$$; б) $$6$$; в) $$-3,\;3$$; г) $$-2,\;2$$.