Упр.13.1 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

13.1 а) 5 корень (-х2 + 9х — 14) — 2 корень 4 степени (х2 — 5х — 14) — 1 = sin пиx/2;
б) 3 корень (-х2 + 11х — 30) — 4 корень 4 степени (х2 — 7х + 6) = sin пиx;
в) 2001 корень 4 степени (х2 — 9) + 2002 корень (9-x2) = cos пиx/2;
г) 2003 корень 4 степени (х2 — 4) + 2004 корень (4-x2) = tg пиx/2;

а) Область определения задаётся системой неравенств:

$$ \begin{cases} -x^2+9x-14\ge 0,\\ x^2-5x-14\ge 0. \end{cases} $$

Решим их:

$$ -x^2+9x-14=(7-x)(x-2)\ge 0 \Rightarrow x\in[2;7], $$

$$ x^2-5x-14=(x-7)(x+2)\ge 0 \Rightarrow x\in(-\infty;-2]\cup[7;+\infty). $$

Пересечение этих множеств:

$$ x=7. $$

Проверка:

$$ 5\sqrt{-7^2+9\cdot 7-14}-2\sqrt[4]{7^2-5\cdot 7-14}-1=\sin\frac{7\pi}{2}, $$

$$ 5\cdot 0-2\cdot 0-1=-1,\qquad \sin\frac{7\pi}{2}=-1. $$

Значит, $$x=7$$.

б) Область определения:

$$ \begin{cases} -x^2+11x-30\ge 0,\\ x^2-7x+6\ge 0. \end{cases} $$

Имеем:

$$ -x^2+11x-30=(6-x)(x-5)\ge 0 \Rightarrow x\in[5;6], $$

$$ x^2-7x+6=(x-1)(x-6)\ge 0 \Rightarrow x\in(-\infty;1]\cup[6;+\infty). $$

Пересечение:

$$ x=6. $$

Проверка:

$$ 3\sqrt{-6^2+11\cdot 6-30}-4\sqrt[4]{6^2-7\cdot 6+6}=\sin 6\pi, $$

$$ 3\cdot 0-4\cdot 0=0,\qquad \sin 6\pi=0. $$

Значит, $$x=6$$.

в) Область определения:

$$ \begin{cases} x^2-9\ge 0,\\ 9-x^2\ge 0. \end{cases} $$

Отсюда:

$$ x\in(-\infty;-3]\cup[3;+\infty), $$

$$ x\in[-3;3]. $$

Пересечение:

$$ x=-3,\;3. $$

Проверка:

$$ 2001\sqrt[4]{x^2-9}+2002\sqrt{9-x^2}=\cos\frac{\pi x}{2}, $$

при $$x=\pm 3$$ левая часть равна $$0$$, а правая:

$$ \cos\frac{\pm 3\pi}{2}=0. $$

Значит, $$x=-3,\;3$$.

г) Область определения:

$$ \begin{cases} x^2-4\ge 0,\\ 4-x^2\le 0. \end{cases} $$

Обе записи равносильны одному условию:

$$ x\in(-\infty;-2]\cup[2;+\infty). $$

Но для существования обеих корней одновременно нужно:

$$ x^2-4\ge 0 \quad \text{и} \quad 4-x^2\ge 0, $$

то есть

$$ x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2. $$

Проверка:

$$ 2003\sqrt[4]{x^2-4}+2004\sqrt{4-x^2}=\tg\frac{\pi x}{2}. $$

При $$x=\pm 2$$ левая часть равна $$0$$, а правая не определена, так как

$$ \tg\frac{\pi(\pm 2)}{2}=\tg(\pm \pi)=0. $$

Следовательно, подходят оба значения:

$$ x=-2,\;2. $$

Ответ

а) $$7$$; б) $$6$$; в) $$-3,\;3$$; г) $$-2,\;2$$.