Упр.129 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

$$|\cos x|-\sqrt{3}\sin\left(\frac{9\pi}{2}+x\right)=1$$

Используем формулу:

$$\sin\left(\frac{9\pi}{2}+x\right)=\cos x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$|\cos x|-\sqrt{3}\cos x=1.$$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$\cos x\ge 0,$$ то $$|\cos x|=\cos x,$$ и получаем

$$\cos x-\sqrt{3}\cos x=1,$$

$$\cos x(1-\sqrt{3})=1,$$

$$\cos x=\frac{1}{1-\sqrt{3}}<0.$$

Это противоречит условию $$\cos x\ge 0,$$ значит, этот случай не подходит.

2) Если $$\cos x<0,$$ то $$|\cos x|=-\cos x,$$ и тогда

$$-\cos x-\sqrt{3}\cos x=1,$$

$$-\cos x(1+\sqrt{3})=1,$$

$$\cos x=-\frac{1}{1+\sqrt{3}}.$$

Это значение отрицательно, значит, условие $$\cos x<0$$ выполнено.

Следовательно,

$$x=\pm \arccos\left(-\frac{1}{1+\sqrt{3}}\right)+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=\pm \arccos\left(-\frac{1}{1+\sqrt{3}}\right)+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$