Упр.128 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 128 (МГУ, мехмат). |cosx/6sinx/2| + |sinx/6cosx/2| = sin 5пи/17.

Подробный ответ

Преобразуем выражение под модулями:

$$ \left|\cos \frac{x}{6}\sin \frac{x}{2}\right|+\left|\sin \frac{x}{6}\cos \frac{x}{2}\right|=\sin \frac{5\pi}{17}. $$

Так как

$$ \cos \frac{x}{6}\sin \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{6}\cos \frac{x}{2}=\sin \frac{2x}{3}, $$

то исходное уравнение равносильно системе:

$$ \begin{cases} \cos \frac{x}{6}\sin \frac{x}{2}\ge 0,\\ \left|\sin \frac{2x}{3}\right|=\sin \frac{5\pi}{17} \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} \cos \frac{x}{6}\sin \frac{x}{2}\le 0,\\ \left|\sin \frac{2x}{3}\right|=\sin \frac{5\pi}{17} \end{cases} $$

Используем формулу

$$ \sin \frac{2x}{3}=2\sin \frac{x}{3}\cos \frac{x}{3}, $$

а также тождество

$$ \sin^2 \frac{2x}{3}=1-\cos^2 \frac{2x}{3}. $$

Тогда получаем

$$ \cos \frac{2x}{3}=\cos \frac{10\pi}{17}. $$

Отсюда

$$ \frac{2x}{3}=\pm \frac{10\pi}{17}+2\pi n,\qquad n\in \mathbb Z. $$

Следовательно,

$$ x=\pm \frac{15\pi}{34}+\frac{3\pi n}{2},\qquad n\in \mathbb Z. $$