Упр.128 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

$$\left|\cos\frac{x}{6}\sin\frac{x}{2}\right|+\left|\sin\frac{x}{6}\cos\frac{x}{2}\right|=\sin\frac{5\pi}{17}$$

Подробный ответ

Преобразуем выражение под модулями:

$$\left|\cos \frac{x}{6}\sin \frac{x}{2}\right|+\left|\sin \frac{x}{6}\cos \frac{x}{2}\right|=\sin \frac{5\pi}{17}.$$

Так как

$$\cos \frac{x}{6}\sin \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{6}\cos \frac{x}{2}=\sin \frac{2x}{3},$$

то исходное уравнение равносильно системе:

$$\begin{cases} \cos \frac{x}{6}\sin \frac{x}{2}\ge 0,\\ \left|\sin \frac{2x}{3}\right|=\sin \frac{5\pi}{17} \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} \cos \frac{x}{6}\sin \frac{x}{2}\le 0,\\ \left|\sin \frac{2x}{3}\right|=\sin \frac{5\pi}{17} \end{cases}$$

Используем формулу

$$\sin \frac{2x}{3}=2\sin \frac{x}{3}\cos \frac{x}{3},$$

а также тождество

$$\sin^2 \frac{2x}{3}=1-\cos^2 \frac{2x}{3}.$$

Тогда получаем

$$\cos \frac{2x}{3}=\cos \frac{10\pi}{17}.$$

Отсюда

$$\frac{2x}{3}=\pm \frac{10\pi}{17}+2\pi n,\qquad n\in \mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=\pm \frac{15\pi}{34}+\frac{3\pi n}{2},\qquad n\in \mathbb Z.$$