Упр.127 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$\sqrt{|2x+1|}=1-2|x|$$; б) $$\sqrt{|1-3x|}=1-3|x|$$

а) Решим уравнение

$$\sqrt{|2x+1|}=1-2|x|.$$

Правая часть должна быть неотрицательной, значит

$$1-2|x|\ge 0 \quad \Rightarrow \quad |x|\le \frac12.$$

Рассмотрим случаи по знаку $$x$$.

1) $$x\ge 0$$. Тогда $$|x|=x$$, $$|2x+1|=2x+1$$, и

$$\sqrt{2x+1}=1-2x.$$

Возводим в квадрат:

$$2x+1=(1-2x)^2=1-4x+4x^2.$$

$$4x^2-6x=0$$

$$2x(2x-3)=0.$$

С учётом $$0\le x\le \frac12$$ подходит только

$$x=0.$$

2) $$x<0$$. Тогда $$|x|=-x$$, $$|2x+1|=2x+1$$ при $$x\ge -\frac12$$, и

$$\sqrt{2x+1}=1+2x.$$

Возводим в квадрат:

$$2x+1=(1+2x)^2=1+4x+4x^2.$$

$$4x^2+2x=0$$

$$2x(2x+1)=0.$$

С учётом $$-\frac12\le x<0$$ подходит

$$x=-\frac12.$$

Итак, для пункта а:

$$x\in\left\{-\frac12,\,0\right\}.$$

б) Решим уравнение

$$\sqrt{|1-3x|}=1-3|x|.$$

Снова правая часть неотрицательна:

$$1-3|x|\ge 0 \quad \Rightarrow \quad |x|\le \frac13.$$

Рассмотрим случаи.

1) $$x\ge 0$$. Тогда $$|x|=x$$, $$|1-3x|=1-3x$$ при $$0\le x\le \frac13$$, и

$$\sqrt{1-3x}=1-3x.$$

Обозначим $$t=1-3x\ge 0$$. Тогда

$$\sqrt{t}=t,$$

откуда

$$t=0 \quad \text{или} \quad t=1.$$

Значит,

$$1-3x=0 \Rightarrow x=\frac13,$$

$$1-3x=1 \Rightarrow x=0.$$

2) $$x<0$$. Тогда $$|x|=-x$$, $$|1-3x|=1-3x$$, и

$$\sqrt{1-3x}=1+3x.$$

Возводим в квадрат:

$$1-3x=(1+3x)^2=1+6x+9x^2.$$

$$9x^2+9x=0$$

$$9x(x+1)=0.$$

С учётом $$-\frac13\le x<0$$ подходит только

$$x=0,$$

но это не подходит к случаю $$x<0$$. Значит, новых решений нет.

Итак, для пункта б:

$$x\in\left\{0,\,\frac13\right\}.$$

Ответ

а) $$x\in\left\{-\frac12,\,0\right\};$$ б) $$x\in\left\{0,\,\frac13\right\}.$$