Упр.126 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

• а) $$\left|\cos x-\frac{1}{2}\right|=\sin x-\frac{1}{2}$$; б) $$\left|\sin x-\frac{1}{2}\right|=\cos x-\frac{1}{2}$$.

а) Рассмотрим уравнение

$$\left|\cos x-\frac12\right|=\sin x-\frac12.$$

Правая часть должна быть неотрицательной, значит

$$\sin x-\frac12\ge 0.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(\cos x-\frac12\right)^2=\left(\sin x-\frac12\right)^2.$$

Тогда

$$\cos^2 x-\cos x+\frac14=\sin^2 x-\sin x+\frac14,$$

$$\cos^2 x-\sin^2 x-\cos x+\sin x=0,$$

$$\left(\cos x-\sin x\right)\left(\cos x+\sin x\right)-\left(\cos x-\sin x\right)=0,$$

$$\left(\cos x-\sin x\right)\left(\cos x+\sin x-1\right)=0.$$

Отсюда:

$$\cos x-\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x+\sin x=1.$$

1) $$\cos x-\sin x=0 \Rightarrow \tan x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos x+\sin x=1 \Rightarrow \sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

откуда

$$x=2\pi k,\; k\in\mathbb Z \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\; k\in\mathbb Z.$$

Проверка показывает, что $$x=2\pi k$$ не подходит, так как тогда левая часть равна $$\frac12,$$ а правая — $$-\frac12.$$

Значит, для пункта а) получаем

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z;\qquad x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\; k\in\mathbb Z.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\left|\sin x-\frac12\right|=\cos x-\frac12.$$

Правая часть неотрицательна, значит

$$\cos x-\frac12\ge 0,$$

то есть

$$\cos x\ge \frac12.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(\sin x-\frac12\right)^2=\left(\cos x-\frac12\right)^2.$$

Тогда

$$\sin^2 x-\sin x+\frac14=\cos^2 x-\cos x+\frac14,$$

$$\sin^2 x-\cos^2 x-\sin x+\cos x=0,$$

$$\left(\sin x-\cos x\right)\left(\sin x+\cos x\right)-\left(\sin x-\cos x\right)=0,$$

$$\left(\sin x-\cos x\right)\left(\sin x+\cos x-1\right)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x-\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x+\cos x=1.$$

1) $$\sin x-\cos x=0 \Rightarrow \tan x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin x+\cos x=1 \Rightarrow \sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

откуда

$$x=2\pi k,\; k\in\mathbb Z \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\; k\in\mathbb Z.$$

Но условие $$\cos x\ge \frac12$$ выполняется только при $$x=2\pi k.$$

Следовательно, для пункта б)

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z;\qquad x=2\pi k,\; k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z;\ \ x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\; k\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z;\ \ x=2\pi k,\; k\in\mathbb Z.$$