Упр.125 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 125 (МГУ, почв. ф-т).

Рассмотрим уравнение

$$\frac{|x-1|}{|x-2|}=\frac{|x+1|}{|x+2|}.$$

Область допустимых значений: $$x\ne \pm 2.$$

Перемножим крест-накрест:

$$|(x-1)(x+2)|=|(x+1)(x-2)|.$$

По определению модуля получаем два случая:

$$ \begin{cases} (x-1)(x+2)=(x+1)(x-2),\\ x\ne \pm 2 \end{cases} \qquad \begin{cases} (x-1)(x+2)=-(x+1)(x-2),\\ x\ne \pm 2 \end{cases} $$

1) $$x^2+x-2=x^2-x-2,$$ откуда

$$2x=0,\quad x=0.$$

2) $$x^2+x-2=-(x^2-x-2),$$ откуда

$$x^2+x-2=-x^2+x+2,$$

$$2x^2-4=0,$$

$$x^2=2,\quad x=\pm\sqrt{2}.$$

Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ

$$x\in\{-\sqrt{2},\,0,\,\sqrt{2}\}.$$