Упр.122 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) x2+4|x|- 1=0;
в) |x2-2x-1|-x+ 1=0;
г) |x2-2x-1| + x -4=0;
д) x/|x|+x=x2+1;
е) |x|/x +2x=x2+1.

Подробный ответ

а) $$x^2-6|x|-2=0$$
Положим $$t=|x|$$, тогда $$x^2=t^2$$ и получаем:
$$t^2-6t-2=0$$
$$D=36+8=44$$
$$t=\frac{6\pm\sqrt{44}}{2}=3\pm\sqrt{11}$$
Так как $$t=|x|\ge 0$$, подходит только $$t=3+\sqrt{11}$$. Тогда
$$|x|=3+\sqrt{11}$$
$$x=\pm(3+\sqrt{11})$$
б) $$x^2+4|x|-1=0$$
Положим $$t=|x|$$, тогда $$x^2=t^2$$:
$$t^2+4t-1=0$$
$$D=16+4=20$$
$$t=\frac{-4\pm\sqrt{20}}{2}=-2\pm\sqrt{5}$$
С учётом $$t\ge 0$$ получаем $$t=-2+\sqrt{5}$$. Значит,
$$|x|=-2+\sqrt{5}$$
$$x=\pm(\sqrt{5}-2)$$
в) $$|x^2-2x-1|-x+1=0$$
Перенесём:
$$|x^2-2x-1|=x-1$$
Правая часть неотрицательна, значит $$x\ge 1$$.
При $$x\ge 1$$ имеем $$x^2-2x-1=(x-1)^2-2<0$$ не всегда, поэтому рассмотрим случаи по знаку выражения под модулем.
1) Если $$x^2-2x-1\ge 0$$, то
$$x^2-2x-1-x+1=0$$
$$x^2-3x=0$$
$$x(x-3)=0$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=3$$. С учётом условий подходит только $$x=3$$.
2) Если $$x^2-2x-1<0$$, то
$$-x^2+2x+1-x+1=0$$
$$x^2-x-2=0$$
$$ (x-2)(x+1)=0 $$
Отсюда $$x=2$$ или $$x=-1$$. С учётом условий подходит только $$x=2$$.
г) $$|x^2-2x-1|+x-4=0$$
Перенесём:
$$|x^2-2x-1|=4-x$$
Значит, $$x\le 4$$.
1) Если $$x^2-2x-1\ge 0$$, то
$$x^2-2x-1+x-4=0$$
$$x^2-x-5=0$$
$$D=1+20=21$$
$$x=\frac{1\pm\sqrt{21}}{2}$$
2) Если $$x^2-2x-1<0$$, то
$$-x^2+2x+1+x-4=0$$
$$x^2-3x+3=0$$
$$D=9-12=-3<0$$
Решений нет.
д) $$\frac{x}{|x|}+x=x^2+1$$, $$x\ne 0$$
Если $$x>0$$, то $$\frac{x}{|x|}=1$$ и
$$1+x=x^2+1$$
$$x^2-x=0$$
$$x(x-1)=0$$
С учётом $$x>0$$ получаем $$x=1$$.
Если $$x<0$$, то $$\frac{x}{|x|}=-1$$ и
$$-1+x=x^2+1$$
$$x^2-x+2=0$$
$$D=1-8=-7<0$$
Решений нет.
е) $$\frac{|x|}{x}+2x=x^2+1$$, $$x\ne 0$$
Если $$x>0$$, то $$\frac{|x|}{x}=1$$ и
$$1+2x=x^2+1$$
$$x^2-2x=0$$
$$x(x-2)=0$$
С учётом $$x>0$$ получаем $$x=2$$.
Если $$x<0$$, то $$\frac{|x|}{x}=-1$$ и
$$-1+2x=x^2+1$$
$$x^2-2x+2=0$$
$$D=4-8=-4<0$$
Решений нет.